수악중독

두 부등식 \(x>0,\; y>x\) 의 영역에 속하는 점 \({\rm P}(a, \;b)\) 에서 두 직선 \(y=x, \; y=-x\) 에 이르는 거리를 각각 \(c,\;d\) 라 하자. 이차정사각행렬 \(M\) 인 \(M \left ( \matrix {a \\ b} \right ) = \left ( \matrix { c \\ d} \right )\) 를 만족할 때, 행렬 \(M+M^{-1}\) 의 모든 성분의 합은? ① \(1\) ② \(\sqrt{2}\) ③ \(2\) ④ \(2\sqrt{2}\) ⑤ \(\sqrt{3}\) 정답 ④

양수 \(x\) 에 대하여 \(\log x\) 의 지표와 가수를 각각 \(f(x), \; g(x)\) 라 할 때, 다음 조건을 만족시키는 모든 \(x\) 값의 곱은? (가) \(f(x)+3g(x)\) 의 값은 정수이다. (나) \(f(x) + f \left ( x^2 \right ) =6\) ① \(10^4\) ② \(10^\frac{13}{3}\) ③ \(10^\frac{14}{3}\) ④ \(10^5\) ⑤ \(10^\frac{16}{3}\) 정답 ②

두 수열 \(\{a_n\},\;\{b_n\}\) 이 각각 \[a_n=\dfrac{1}{2^{n-2}} \cos \dfrac{(n-1)\pi}{2},\;\; b_n=\dfrac{1+(-1)^{n-1}}{2^n}\] 일 때, 에서 옳은 것을 모두 고른 것은? ㄱ. 모든 자연수 \(k\) 에대하여 \(a_{3k}

\(n \geq 2\) 인 자연수 \(n\) 에 대하여 중심이 원점이고 반지름의 길이가 \(1\) 인 원 \(C\) 를 \(x\) 축의 방향으로 \(\dfrac{2}{n}\) 만큼 평행이동시킨 원을 \(C_n\) 이라 하자. 원 \(C\) 와 원 \(C_n\) 의 공통현의 길이를 \(l_n\) 이라 할 때, \(\sum \limits_{n=2}^{\infty} \dfrac{1}{(nl_n)^2}=\dfrac{q}{p}\) 이다. \(p+q\) 의 값을 구하시오. (단, \(p,\;q\) 는 서로소인 자연수이다.) 정답 \(19\)

두 행렬 \(A= \left ( \matrix { 1 & -1 \\ 1 & 1} \right ) ,\; B= \left ( \matrix {-1 & 0 \\ 0 & 3} \right )\) 에 대하여 \[P=ABA^{-1},\;\; (P+tE)^n=16E\] 가 성립할 때, 자연수 \(n\) 과 실수 \(t\) 의 곱 \(nt\) 의 값은? (단, \(E\) 는 단위행렬이다.) ① \(-4\) ② \(-2\) ③ \(2\) ④ \(4\) ⑤ \(6\) 정답 ①

두 무한수열 \(\{a_n\},\; \{b_n\}\) 의 일반항이 \[a_n=\cos n \pi ,\;\; b_n = \sin \dfrac{2n-1}{2}\pi\] 일때, 옳은 것을 에서 모두 고르면? ㄱ. 수열 \( \left \{ \dfrac{a_n}{b_n} \right \}\) 은 수렴한다. ㄴ. 수열 \(\{ a_n +b_n\}\) 은 수렴한다. ㄷ. \(\lim \limits_{n \to \infty} (a_n +b_n) = \lim \limits_{n \to \infty} a_n + \lim \limits_{n \to \infty} b_n\) ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ③

실수 \(a, \;b,\;c\) 에 대하여 \(a\) 의 \(l\) 제곱근, \(b\) 의 \(m\) 제곱근, \(c\) 의 \(n\) 제곱근 중 실수인 것의 개수를 각각 \(p\)개, \(q\)개, \(r\)개라 하자. 다음 조건을 만족하는 \(p,\;q,\;r\) 에 대하여 \(p^2+10q-r\) 의 값을 구하시오. (단, \(a0,\;c

아래와 같이 가로의 길이가 \(6\) 이고 세로의 길이가 \(8\) 인 직사각형 내부에 두 대각선의 교점을 중심으로 하고, 직사각형 가로 길이의 \(\dfrac{1}{3}\) 을 지름으로 하는 원을 그려서 얻은 그림을 \(R_1\) 이라 하자. 그림 \(R_1\) 에서 직사각형의 각 꼭짓점으로부터 대각선과 원의 교점까지의 선분을 각각 대각선으로 하는 \(4\) 개의 직사각형을 그린 후, 새로 그려진 직사각형 내부에 두 대각선의 교점을 중심으로 하고, 새로 그려진 직사각형 가로 길이의 \(\dfrac{1}{3}\) 을 지름으로 하는 원을 그려서 얻은 그림을 \(R_2\) 라 하자. 그림 \(R_2\) 에 있는 합동인 \(4\) 개의 직사각형 각각에서 각 꼭짓점으로부터 대각선과 원의 교점까지의 선분을 각각 ..

아래 그림과 같이 원점 \(\rm O\) 와 점 \(\rm A_1 (0.\;8)\) 을 이은 선분 \(\rm OA_1\) 을 반지름으로 하고 중심각의 크기가 \(\theta\) 인 부채꼴 \(\rm OA_1 B_1\) 을 그린다. 점 \(\rm B_1\) 에서 \(x\) 축에 내린 수선의 발을 \(\rm A_2\) 라 하고, 반지름이 선분 \(\rm OA_2\) 이고 중심각의 크기가 \(\theta\) 인 부채꼴 \(\rm OA_2B_2\) 를 그린다. 점 \(\rm B_2\) 에서 \(y\) 축에 내린 수선의 발을 \(\rm A_3\) 이라 하고, 반지름이 선분 \(\rm OA_3\) 이고 중심각의 크기가 \(\theta\) 인 부채꼴 \(\rm OA_3B_3\) 을 그린다. 이와 같이 시계 방향으로 ..

무한급수 \(a_1 + \left (a_2 -\dfrac{1}{2} \right ) + \left ( a_3 - \dfrac{2}{3} \right ) + \left ( a_4 - \dfrac{3}{4} \right ) + \cdots \) 가 수렴할 때, \(\lim \limits_{n \to \infty} a_n\) 의 값을 구하시오. 정답 \(1\)