수악중독

좌표평면에서 원 $x^2+(y-1)^2=1$ 과 직선 $y=mx-m+1$ 이 서로 다른 두 점 $\rm P, \; Q$ 에서 만난다. 선분 $\rm PQ$ 와 호 $\rm PQ$ 로 둘러싸인 도형 중 넓이가 작은 도형의 넓이를 $S_1$, 선분 $\rm OQ$ 와 호 $\rm OQ$ 로 둘러싸인 도형 중 넓이가 작은 도형의 넓이를 $S_2$ 라 하자. $S_1=S_2$ 를 만족시키는 모든 실수 $m$ 의 값의 합을 구하시오. (단, $\rm O$ 는 원점이고, 점 $\rm P$ 의 $x$ 좌표는 점 $\rm Q$ 의 $x$ 좌표보다 크다.) 더보기정답 $2$

그림과 같이 세 점 ${\rm A}(0, \; 4)$, ${\rm B}(-3, \; 0)$, ${\rm C}(4, \; -3)$ 을 꼭짓점으로 하는 삼각형 $\rm ABC$ 가 있다. 선분 $\rm AC$ 위를 움직이는 점 $\rm P$ 를 지나고 직선 $\rm AB$ 에 평행한 직선이 선분 $\rm BC$ 와 만나는 점을 $\rm Q$, 점 $\rm P$ 를 지나고 직선 $\rm BC$ 에 평행한 직선이 선분 $\rm AB$ 와 만나는 점을 $\rm R$, 점 $\rm Q$ 를 지나고 직선 $\rm AC$ 에 평행한 직선이 선분 $\rm AB$ 와 만나는 점을 $S$ 라 하자. 사다리꼴 $\rm PRSQ$ 의 넓이의 최댓값이 $\dfrac{q}{p}$ 일 때, $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $\..

좌표평면에서 직선 $3x+4y+17=0$ 을 $x$ 축의 방향으로 $n$ 만큼 평행이동한 직선이 원 $x^2+y^2=1$ 에 접할 때, 자연수 $n$ 의 값은? ① $1$ ② $2$ ③ $3$ ④ $4$ ⑤ $5$ 더보기 정답 ④

그림과 같이 좌표평면에서 직선 $y=-x+10$ 과 $y$ 축과의 교점을 $\rm A$, 직선 $y=3x-6$ 과 $x$ 축과의 교점을 $\rm B$, 두 직선 $y=-x+10, \; y=3x-6$ 의 교점을 $\rm C$ 라 하자. $x$ 축 위의 점 ${\rm D}(a, \; 0) \; (a>2)$ 에 대하여 삼각형 $\rm ABD$ 의 넓이가 삼각형 $\rm ABC$ 의 넓이와 같도록 하는 $a$ 의 값은? ① $5$ ② $\dfrac{26}{5}$ ③ $\dfrac{27}{5}$ ④ $\dfrac{28}{5}$ ⑤ $\dfrac{29}{5}$ 더보기 정답 ②

좌표평면 위에 두 점 $\rm A(-4, \; 4)$, $\rm B(5, \; 3)$ 이 있다. $x$ 축 위의 두 점 $\rm P, \; Q$ 와 직선 $y=1$ 위의 점 $\rm R$ 에 대하여 $\overline{\rm AP} + \overline{\rm PR} + \overline{\rm RQ} + \overline{\rm QB}$ 의 최솟값은? ① $12$ ② $5\sqrt{6}$ ③ $2\sqrt{39}$ ④ $9\sqrt{2}$ ⑤ $2\sqrt{42}$ 더보기 정답 ④

좌표평면에서 반지름의 길이가 $r$ 이고 중심이 이차함수 $y=\dfrac{1}{2}x^2 + \dfrac{7}{2}$ 의 그래프 위에 있는 원 중에서, 직선 $y=x+7$ 에 접하는 원의 개수를 $m$ 이라 하고 직선 $y=x$ 에 접하는 원의 개수를 $n$ 이라 하자. $m$ 이 홀수일 때, $m+n+r^2$ 의 값은? (단, $r$ 는 상수이다.) ① $11$ ② $12$ ③ $13$ ④ $14$ ⑤ $15$ 더보기 정답 ③

좌표평면 위의 두 점 $\rm A(5, \; 12)$, ${\rm B}(a, \; b)$ 에 대하여 선분 $\rm AB$ 의 길이가 $3$ 일 때, $a^2+b^2$ 의 최댓값을 구하시오. 더보기 정답 $256$

좌표평면 위에 두 점 $\rm A(-3, \; 2), \; B(5, \; 4)$ 가 있다. $\overline{\rm BP}=3$ 인 점 $\rm P$ 와 $x$ 축 위의 점 $\rm Q$ 에 대하여 $\overline{\rm AQ}+\overline{\rm QP}$ 의 최솟값은? ① $5$ ② $6$ ③ $7$ ④ $8$ ⑤ $9$ 더보기 정답 ③

좌표평면 위에 세 점 $\rm A(2, \; 3), \; B(7, \; 1), \; C(4, \; 5)$ 가 있다. 직선 $\rm AB$ 위의 점 $\rm D$ 에 대하여 점 $\rm D$ 를 지나고 직선 $\rm BC$ 와 평행한 직선이 직선 $\rm AC$ 와 만나는 점을 $\rm E$ 라 하자. 삼각형 $\rm ABC$ 와 삼각형 $\rm ADE$ 의 넓이의 비가 $4:1$ 이 되도록 하는 모든 점 $\rm D$ 의 $y$ 좌표의 곱은? (단, 점 $\rm D$ 는 점 $\rm A$ 도 아니고 점 $\rm B$ 도 아니다.) ① $8$ ② $\dfrac{17}{2}$ ③ $9$ ④ $\dfrac{19}{2}$ ⑤ $10$ 더보기 정답 ①

양수 $k$ 에 대하여 좌표평면 위에 두 점 ${\rm A}(k, \; 0)$, ${\rm B}(0, \; k)$ 가 있다. 삼각형 $\rm OAB$ 의 내부에 있으며 $\angle \rm AOP = \angle \rm BAP$ 를 만족시키는 점 $\rm P$ 에 대하여 점 $\rm P$ 의 $y$ 좌표의 최댓값을 $M(k)$ 라 하자. 다음은 $M(k)$ 를 구하는 과정이다. (단, $\rm O$ 는 원점이고, $\angle \rm AOP 원의 접선과 그 접점을 지나는 현이 이루는 각의 크기는 이 각의 내부에 있는 호에 대한 원주각의 크기와 같다. 그러므로 점 $\rm O$ 를 지나고 직선 $\rm AB$ 와 점 $\rm A$ 에서 접하는 원을 $C$ 라 할 때, 삼각형 $\rm OAB$ 의 내부에 있..