수악중독

두 양수 $a, \; b$에 대하여 원 $C : (x-1)^2+y^2=r^2$을 $x$축의 방향으로 $a$만큼, $y$축의 방향으로 $b$만큼 평행이동한 원을 $C'$이라 할 때, 두 원 $C, \; C'$이 다음 조건을 만족시킨다. (가) 원 $C'$은 원 $C$의 중심을 지난다. (나) 직선 $4x-3y+21=0$은 두 원 $C, \; C'$에 모두 접한다. $a+b+r$의 값을 구하시오. (단, $r$는 양수이다.) 더보기 정답 $12$

좌표평면 위에 두 점 ${\rm A} \left (0, \; \sqrt{3} \right ), \; {\rm B}(1, \; 0)$ 과 원 $C: (x-1)^2+(y-10)^2=9$ 가 있다. 원 $C$ 위의 점 $\rm P$ 에 대하여 삼각형 $\rm ABP$ 의 넓이가 자연수가 되도록 하는 모든 점 $\rm P$ 의 개수는? ① $9$ ② $10$ ③ $11$ ④ $12$ ⑤ $13$ 더보기 정답 ④

한 변의 길이가 $3$ 인 정삼각형 $\rm ABC$ 가 있다. $0

$1 \le a < b$ 인 두 상수 $a, \; b$ 에 대하여 세 집합 $$\begin{aligned} A &= \left \{ (x, \; y) \left | y=\dfrac{4}{3}x \text{ 이고 } (x+2)^2+(y+1)^2=1 \right .\right \}, \\[10pt] B &= \left \{ (x, \; y) \left | y=\dfrac{4}{3}x \text{ 이고 } (x-a-1)^2+(y-a)^2=a^2 \right .\right \}, \\[10pt] C &= \left \{ (x, \; y) \left | y=\dfrac{4}{3}x \text{ 이고 } (x-b-1)^2+(y-b)^2=b^2 \right .\right \}\end{aligned}$$ 가 있다. $..

그림과 같이 중심이 제1사분면 위에 있고 $x$ 축과 점 $\rm P$ 에서 접하며 $y$ 축과 두 점 $\rm Q, \; R$ 에서 만나는 원이 있다. 점 $\rm P$ 를 지나고 기울기가 $2$ 인 직선이 원과 만나는 점 중 $\rm P$ 가 아닌 점을 $S$ 라 할 때, $\overline{\rm QR}=\overline{\rm PS}=4$ 를 만족시킨다. 원점 $\rm O$ 와 원의 중심 사이의 거리는? ① $\sqrt{6}$ ② $\sqrt{7}$ ③ $2\sqrt{2}$ ④ $3$ ⑤ $\sqrt{10}$ 더보기 정답 ①

그림과 같이 좌표평면 위에 두 점 ${\rm A}(0, \; 1)$, ${\rm B}(1, \; 0)$ 이 있다. 양수 $n$ 과 원점 $\rm O$ 에 대하여 선분 $\rm OA$ 를 $1:n$ 으로 내분하는 점을 $\rm P$, 선분 $\rm OB$ 를 $1:n$ 으로 내분하는 점을 $\rm Q$, 선분 $\rm AQ$ 와 선분 $\rm BP$ 가 만나는 점을 $\rm R$ 라 하자. 다음은 사각형 $\rm POQR$ 의 넓이가 $\dfrac{1}{42}$ 일 떄, $n$ 의 값을 구하는 과정이다. 점 $\rm P$ 의 좌표는 $\left ( 0, \; \dfrac{1}{n+1} \right )$ , 점 $\rm Q$ 의 좌표는 $\left ( \dfrac{1}{n+1}, \; 0 \right )$ ..

$-1

원 $(x+1)^2+(y+2)^2=9$ 를 $x$ 축의 방향으로 $m$ 만큼, $y$ 축의 방향으로 $n$ 만큼 평행이동한 원을 $C$ 라 하자. 원 $C$ 가 다음 조건을 만족시킬 때, $m+n$ 의 값을 구하시오. (단, $m, \; n$ 은 상수이다.) (가) 원 $C$ 의 중심은 제1사분면 위에 있다. (나) 원 $C$ 는 $x$ 축과 $y$ 축에 동시에 접한다. 더보기 정답 $9$ 원 $C$ 의 중심의 좌표는 $(-1+m, \; -2+n)$ 가) 원 $C$ 의 중심이 제1사분면 위에 있으므로 $m-1>0, \; n-2>0$ 나) 원 $C$ 가 $x$ 축과 $y$ 축에 동시에 접하므로 $|m-1|=m-1=3, \; |n-2|=n-2=3$ 따라서 $m=4, \; n=5$ $\therefore m+n..

그림과 같이 원의 중심 ${\rm C}(a, \; b)$ 가 제1사분면 위에 있고, 반지름의 길이가 $r$ 이며 원점 $\rm O$ 를 지나는 원이 있다. 원과 $x$ 축, $y$ 축이 만나는 점 중 $\rm O$ 가 아닌 점을 각각 $\rm A, \; B$라 하자. 네 점 $\rm O, \; A, \; B, \; C$ 가 다음 조건을 만족시킬 때, $a+b+r^2$ 의 값을 구하시오. (가) $\overline{\rm OB} - \overline{\rm OA}=4$ (나) 두 점 $\rm O, \; C$ 를 지나는 직선의 방정식은 $y=3x$ 이다. 더보기 정답 $14$

그림과 같이 원 $x^2+y^2=1$ 과 직선 $y=ax \; (a>0)$ 이 만나는 서로 다른 두 점을 각각 $\rm A, \; B$ 라 하고, 점 $\rm A$ 를 지나고 직선 $y=ax$ 에 수직인 직선이 $x$ 축과 만나는 점을 $\rm C$ 라 하자. 다음은 점 ${\rm D}(0, \; -1)$ 에 대하여 두 삼각형 $\rm DAB$ 와 $\rm DCO$ 의 넓이를 각각 $S_1, \; S_2$ 라 할 때, $\dfrac{S_2}{S_1}=2$ 를 만족시키는 상수 $a$ 의 값을 구하는 과정이다. (단, $\rm O$ 는 원점이고, 점 $\rm A$ 의 $x$ 좌표는 양수이다.) 원 $x^2+y^2=1$ 과 직선 $y=ax$ 가 만나는 점 $\rm A$ 의 좌표는 $${\rm A} \left ..