수악중독

두 양수 $a, \; m$ 에 대하여 두 함수 $f(x), \; g(x)$ 를 $$\begin{aligned} f(x) &= ax^2, \\g(x) &=mx+4a \end{aligned}$$ 라 하자. 그림과 같이 곡선 $y=f(x)$ 와 직선 $y=g(x)$ 가 만나는 두 점을 $\rm A, \; B$ 라 할 때, 선분 $\rm AB$ 를 지름으로 하고 원점 $\rm O$ 를 지나는 원 $C$ 가 있다. 원 $C$ 와 곡선 $y=f(x)$ 는 서로 다른 네 점에서 만나고, 원 $C$ 와 곡선 $y=f(x)$ 가 만나는 네 점 중 $\rm O, \; A, \; B$ 가 아닌 점을 ${\rm P}(k, \; f(k))$ 라 하자. 삼각형 $\rm ABP$ 의 넓이가 삼각형 $\rm AOB$ 넓이의 $5$배..

중심이 점 $(3, \; 2)$ 이고 반지름의 길이가 $\sqrt{5}$ 인 원 위의 점과 직선 $2x-y+8=0$ 사이의 거리의 최솟값은? ① $\dfrac{7\sqrt{5}}{5}$ ② $\dfrac{8\sqrt{5}}{5}$ ③ $\dfrac{9\sqrt{5}}{5}$ ④ $2\sqrt{5}$ ⑤ $\dfrac{11\sqrt{5}}{5}$ 더보기 정답 ①

좌표평면 위의 원점 $\rm O$ 와 두 점 $\rm A, \; B$ 를 꼭짓점으로 하는 삼각형 $\rm OAB$ 가 있다. 선분 $\rm OA$ 를 $2:1$ 로 외분하는 점을 $\rm P$, 선분 $\rm OB$ 를 $2:1$ 로 외분하는 점을 $\rm Q$ 라 하자. 선분 $\rm PQ$ 의 중점의 좌표가 $(4, \; 5)$ 일 때, 삼각형 $\rm OAB$ 의 무게중심의 좌표는 $(a, \; b)$ 이다. $a+b$ 의 값은? ① $3$ ② $4$ ③ $5$ ④ $6$ ⑤ $7$ 더보기 정답 ①

그림과 같이 좌표평면 위에 두 점 $\rm A(2, \; 3)$, $\rm B(-3, \; 1)$ 이 있다. 서로 다른 두 점 $\rm C$ 와 $\rm D$ 가 각각 $x$ 축과 직선 $y=x$ 위에 있을 때, $\overline{\rm AD}+\overline{\rm CD}+\overline{\rm BC}$ 의 최솟값은? ① $\sqrt{42}$ ② $\sqrt{43}$ ③ $2\sqrt{11}$ ④ $3\sqrt{5}$ ⑤ $\sqrt{46}$ 더보기 정답 ④

좌표평면 위에 네 점 $\rm A(-1, \; 4)$, $\rm B(-3, \; 0)$, $\rm C(0, \; -2)$, $\rm D(1, \; 3)$ 이 있다. 다음은 네 점 $\rm A, \; B, \; C, \; D$ 가 각각 네 변 $\rm PQ, \; QR, \; RS, \; SP$ 위에 있도록 하는 정사각형 $\rm PQRS$ 의 한 변의 길이를 구하는 과정이다. 점 $\rm A$ 를 지나고 두 점 $\rm B$ 와 $\rm D$ 를 지나는 직선에 수직인 직선 $l_1$ 의 방정식은 $y=\boxed{ (가) }$ 이다. 점 $\rm A$ 를 중심으로 하고 반지름의 길이가 $\overline{\rm BD}$ 인 원을 $C$ 라 하자. 원 $C$ 와 직선 $l_1$ 이 만나는 두 점 중 점 $..

그림과 같이 원 $x^2+y^2=25$ 위에 세 점 $\rm A(-5, \; 0)$, $\rm B(0, \; -5)$, $\rm C(4, \; 3)$ 이 있다. 점 $\rm B$ 를 포함하지 않는 호 $\rm AC$ 위에 점 $\rm P$ 가 있을 때, 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ㄱ. 점 $\rm B$ 와 직선 $\rm AC$ 사이의 거리는 $2\sqrt{10}$ 이다. ㄴ. 사각형 $\rm PABC$ 의 넓이가 최대일 때, 직선 $\rm PB$ 와 직선 $\rm AC$ 는 서로 수직이다. ㄷ. 사각형 $\rm PABC$ 의 넓이의 최댓값은 $\dfrac{15 \left ( 3+ \sqrt{10} \right )}{2}$ 이다. ① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 더보..

그림과 같이 원 $x^2+y^2=100$ 위에 $x$ 좌표가 각각 $3, \; 7$ 인 두 점 $\rm A_1, \; A_2$ 가 있다. 점 $\rm B(-10, \; 0)$ 을 지나고 두 직선 $\rm A_1B, \; A_2B$ 에 각각 수직인 두 직선이 원과 만나는 점 중 점 $\rm B$ 가 아닌 두 점을 각각 $\rm C_1, \; C_2$ 라 하자. 점 $\rm C_1$ 의 $y$ 좌표를 $a$, 점 $\rm C_2$ 의 $x$ 좌표를 $b$ 라 할 때, $a^2+b^2$ 의 값을 구하시오. (단, 두 점 $\rm A_1, \; A_2$ 는 제$1$사분면 위에 있다.) 더보기 정답 $140$

그림과 같이 $x$ 축과 직선 $l : y=mx \; (m>0)$ 에 동시에 접하는 반지름의 길이가 $2$ 인 원이 있다. $x$ 축과 원이 만나는 점을 $\rm P$, 직선 $l$ 과 원이 만나는 점을 $\rm Q$, 두 점 $\rm P, \; Q$ 를 지나는 직선이 $y$ 축과 만나는 점을 $\rm R$ 라 하자. 삼각형 $\rm ROP$ 의 넓이가 $16$ 일 때, $60m$ 의 값을 구하시오. (단, 원의 중심은 제$1$사분면 위에 있고, $\rm O$ 는 원점이다.) 더보기 정답 $80$

최고차항의 계수가 $1$ 인 이차함수 $y=f(x)$ 의 그래프를 원점에 대하여 대칭이동하면 이차함수 $y=g(x)$ 의 그래프와 일치한다. 방정식 $f(x)=g(x)$ 는 서로 다른 두 실근 $\alpha, \; \beta \; (\alpha < \beta)$ 를 갖고, 함수 $h(x)$ 는 $$h(x) = \begin{cases} f(x) & (x \beta) \\ g(x) & (\alpha \le x \le \beta) \end{cases}$$ 일 때, 함수 $h(x)$ 는 다음 조건을 만족시킨다. (가) 방정식 $h(x)=h(\beta)$ 는 서로 다른 세 실근을 갖고, 세 실근의 합은 $-4$ 이다. (나) 함수 $y=h(x)$ 의 그래프 위의 점 중에서 $y$ 좌표가 음의 정수인 점의 개수는 ..

두 직선 $l_1 : 2x+y+2=0, \; l_2 : x-2y-4=0$의 교점을 $\mathrm{A}$, 두 직선 $l_1, \; l_2$가 $x$축과 만나는 점을 각각 $\mathrm{B, \; C}$라 하자. 제1사분면에 있는 점 $\mathrm{P}$와 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 외접원 위의 점 $\mathrm{Q}$가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 점 $\mathrm{Q}$는 삼각형 $\mathrm{PBC}$의 무게중심이다. (나) 삼각형 $\mathrm{PBC}$의 넓이는 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 넓이의 $3$배이다. 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ㄱ. 두 직선 $l_1, \; l_2$는 서로 수직이다. ㄴ. 점 $\mathrm{Q}$의 $y$좌표는 $2$이다...