사인법칙과 코사인법칙_난이도 중하 (2023년 9월 평가원 고3 20번)

 

 

그림과 같이 $$\overline{\mathrm{AB}}=2, \; \overline{\mathrm{AD}}=1, \; \angle \mathrm{DAB}=\dfrac{2}{3}\pi, \; \angle \mathrm{BCD} = \dfrac{3}{4}\pi$$ 인 사각형 $\mathrm{ABCD}$ 가 있다. 삼각형 $\mathrm{BCD}$ 의 외접원의 반지름의 길이를 $R_1$, 삼각형 $\mathrm{ABD}$ 의 외접원의 반지름의 길이를 $R_2$ 라 하자. 

 

다음은 $R_1 \times R_2$ 의 값을 구하는 과정이다.

 

삼각형 $\mathrm{BCD}$ 에서 사인법칙에 의하여 

          $R_1 = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \times \overline{\mathrm{BD}}$

이고, 삼각형 $\mathrm{ABD}$ 에서 사인법칙에 의하여 

          $R_2 = \boxed{\text{ (가) }} \times \overline{\mathrm{BD}}$

이다. 삼각형 $\mathrm{ABD}$ 에서 코사인법칙에 의하여

          $\overline{\mathrm{BD}}^2 = 2^2 + 1^2 - \left ( \; \boxed{\text{ (나) }} \; \right )$

이므로

          $R_1 \times R_2 = \boxed{\text{ (다) }}$

이다.

 

위의 (가), (나), (다)에 알맞은 수를 각각 $p, \; q, \; r$ 이라 할 때, $9 \times (p \times q \times r)^2$ 의 값을 구하시오.

 

정답 $98$