중학교 복습_난이도 중 (2022년 3월 전국연합 고1 18번)

그림과 같이 $\angle \mathrm{ABC}=60^{\mathrm{o}}$인 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 두 변 $\mathrm{AB, \;AC}$의 중점을 각각 $\mathrm{D, \; E}$라 하자. 선분 $\mathrm{DE}$를 지름으로 하는 원이 선분 $\mathrm{BC}$와 접할 때, 이 원이 선분 $\mathrm{AB}$와 만나는 점 중 $\mathrm{D}$가 아닌 점을 $\mathrm{F}$라 하자. 

다음은 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 넓이가 $16$일 때, 삼각형 $\mathrm{AFE}$의 넓이를 구하는 과정이다.

 

원의 반지름의 길이를 $r$라 하면 $$\overline{\mathrm{DE}}=2r, \; \overline{\mathrm{BC}}=4r$$이다. 

점 $\mathrm{A}$에서 선분 $\mathrm{BC}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$라 하면 $$\overline{\mathrm{AH}}=\boxed{ (가) } \times r$$이고, $\triangle \mathrm{ABC}=16$이므로 $$r=\boxed{ (나) }$$이다. 

삼각형 $\mathrm{ADE}$와 삼각형 $\mathrm{ABC}$는 서로 닮음이므로 $\triangle \mathrm{ADE}=4$이다. 

삼각형 $\mathrm{FDE}$에서 꼭짓점 $\mathrm{F}$는 원 위의 점이므로 삼각형 $\mathrm{FDE}$의 넓이는 $\boxed{ (다) }$이다. 

따라서 구하는 삼각형 $\mathrm{AFE}$의 넓이는 $4-\boxed{ (다) }$이다.

 

위의 (가), (나), (다)에 알맞은 수를 각각 $a, \; b, \; c$라 할 때, $a\times b \times c$의 값은?

 

① $5\sqrt{3}$          ② $6\sqrt{3}$          ③ $7\sqrt{3}$          ④ $8\sqrt{3}$          ⑤ $9\sqrt{3}$

 

정답 ④