수악중독

어떤 모집단에서 모비율을 \(p\), 크기가 \(n\) 인 표본을 임의로 추출한 표본비율을 \(\hat{p}\) 이라 한다. \(p=0.9\) 일 때, \(0.81 \leq \hat{p} \leq 0.99\) 인 확률이 \(0.99\) 이상이 되도록 하는 \(n\) 의 최솟값을 구하시오. (단, \({\rm P} \left ( | p- \hat{p} | \leq 3 \sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}} \right ) = 0.99\) 이다.) 정답 \(100\)

이산확률변수 \(X\) 의 확률질량함수가 \[{\rm P}(X=x)=p\times (1-p)^x \;\; (x=1, \;2,\;3,\;\cdots)\] 이다. 다음은 \({\rm E}(X)\) 와 \({\rm V}(X)\) 를 구하는 과정이다. 주어진 식에서 \( \begin{aligned} {\rm E}(X) &= \sum_{x=1}^{\infty} \left \{ px \times (1-p)^x \right \} \\&= (1-p) \sum_{x=1}^{\infty} \left \{ \dfrac{x-1}{1-p} -x \right \} (1-p)^x + (가) \\ &= \sum_{x=1}^{\infty} \left \{ (x-1)(1-p)^x -x(1-p)^{x+1} \right \} +(가) \\..

\(7\) 명이 학생 \(\rm A, \;B,\;C,\;D,\;E,\;F,\;G\) 가 원탁에 둘러앉는 방법의 수는 \(\alpha\) 이다. 또한 \(\rm A,\;B,\;C\) 는 서로 이웃하지 않고, \(\rm D, \;E\) 도 서로 이웃하지 않도록 원탁에 둘러앉는 방법의 수는 \(\beta\) 이다. 이때, \(\alpha+\beta\) 의 값을 구하시오. 정답 \(840\)

그림과 같이 점 \(\rm P\) 가 점 \({\rm A}(1,\;1)\) 을 출발하여 곡선 \(y=\ln x+1\) 을 따라 매초 \(2\) 의 일정한 속력으로 움직이고 있다. 점 \(\rm P\) 에서 \(x\) 축에 내린 수선의 발을 \(\rm Q\) 라 할 때, \(x=2\) 일 때, 점 \(\rm Q\) 의 속력은? ① \(\dfrac{2\sqrt{5}}{5}\) ② \(\dfrac{3\sqrt{5}}{5}\) ③ \(\dfrac{4\sqrt{5}}{5}\) ④ \(\sqrt{5}\) ⑤ \(\dfrac{6\sqrt{5}}{5}\) 정답 ③

아래 그림과 같이 점 \(\rm P\) 가 점 \((0, \;1)\) 을 출발하여 곡선 \(y=e^x\;(x \geq 0)\) 위를 매초 \(1\) 의 속력으로 움직이고 있다. 점 \(\rm P\) 에서 \(x\) 축에 내린 수선의 발을 \(\rm Q\) 라고 할 때, 점 \(\rm P\) 가 점 \((1, \;e)\) 를 지나는 순간의 점 \(\rm Q\) 의 속력을 구하면? ① \(\dfrac{1}{2\sqrt{1+e^2}}\) ② \(\dfrac{1}{\sqrt{1+e^2}}\) ③ \(\dfrac{2}{\sqrt{1+e^2}}\) ④ \(\dfrac{1}{1+e^2}\) ⑤ \(\dfrac{2}{1+e^2}\) 정답 ②

함수 \(I_n(x)= \displaystyle \int (\ln x)^n dx \; (n=1,\;2,\;3,\;\cdots)\) 에 대한 보기의 설명 중에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, \(C\) 는 적분 상수) ㄱ. \(I_1(x)=x \ln x - x+C\)ㄴ. \(I_n(x)=x(\ln x)^n -n I_{n-1}(x)\)ㄷ. \(I_5(1)=0\) 이면 \(I_5(e)=75e\) ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ③

함수 \(f(x)=\dfrac{1}{x+1}\) 에 대하여 \[F(x)=\displaystyle \int_0^x tf(x-t) dt\;\; (x \geq 0)\] 일 때, \(F'(a)=\ln 10\) 을 만족시키는 상수 \(a\) 의 값을 구하시오. 정답 \(9\)

부등식 \(n< \displaystyle \int_0^2 \sqrt{27+2 \sin x} dx < n+1\) 을 만족하는 양의 정수 \(n\) 을 구하시오. 정답 \(10\)

그림은 \(0 \leq x \leq 2\pi\) 에서 정의된 함수 \(f(x)=\cos x + \left | \cos x \right |\) 의 그래프이다. \(\displaystyle \int_{\frac{\pi}{6}}^{\pi} f \left ( 2x - \dfrac{\pi}{6} \right ) dx \) 의 값은? ① \(\dfrac{1}{2}\) ② \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) ③ \(1\) ④ \(\sqrt{3}\) ⑤ \(\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\) 정답 ③

함수 \(f(x)=\displaystyle \int \dfrac{1}{1-e^x} dx\) 에 대하여 \(f(2)-f(1)\) 의 값은? ① \(\ln \dfrac{e}{e-1}\) ② \(\ln \dfrac{e-1}{e}\) ③ \(1\) ④ \(\ln \dfrac{e}{e+1}\) ⑤ \(\ln \dfrac{e+1}{e}\) 정답 ④