수악중독

삼차함수 \(y=f(x)\) 와 이차함수 \(y=g(x)\) 의 도함수 \(y=f~'(x)\) 와 \(y=g'(x)\) 의 그래프가 그림과 같다. \( f(0)=g(0),\;\;f(a)-g(a)0\) ㄴ. 방정식 \(f(x)=g(x)\) 는 서로 다른 세 실근을 갖는다. ㄷ. 구간 \([a, \;b]\) 에서 함수 \(f(x)-g(x)\) 는 \(x=b\) 일 때 최댓값을 갖는다. ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄴ, ㄷ 정답 ⑤

\(3\) 문제가 차례로 주어지는 퀴즈대회에서 한 문제를 틀리면 다음 문제에 도전하지 못한 채 탈락하고, 세 문제를 모두 맞히면 상품을 받는다고 한다. 이 퀴즈대회에 출전한 경험이 있는 사람들을 대상으로 조사했더니, 첫 번째 문제를 맞힐 확률은 \(60\%\), 두 번째 문제에 도전했을 때 그 문제를 맞힐 확률은 \(40\%\) 이었고, 세 번째 문에제 도전했을 때 그 문제를 맞힐 확률은 \(p\%\) 이었다. 이 퀴즈대회에 출전했던 사람 중에서 한 명을 임의로 택할 때, 이 사람이 세 번째 문제에서 탈락했을 확률은 두 번째 문제에서 탈락했을 확률의 \(\displaystyle \frac{1}{2}\) 배와 같다고 한다. 이 때, 자연수 \(p\) 의 값을 구하시오. 정답 25

\(A,\;B\)를 포함하여 \(8\)개의 팀이 출전한 축구대회가 토너먼트 형식으로 진행된다. 이 경기에서 각 팀이 이길 확률은 \(\displaystyle \frac{1}{2}\)로 동일하다고 할 때, \(A\)팀이 우승, \(B\) 팀이 준우승을 하게 될 확률을 구하면 \(\displaystyle \frac{q}{p}\)라고 한다. \(p+q\)의 값을 구하시오. (단, \(p,\;q\)는 서로소인 자연수이다.) 정답 65

+ 부호 6개와 - 부호 8개를 일렬로 나열할 때, 부호의 변화가 4번 일어나도록 배열하는 경우의 수를 구하시오. 정답 175

\(x+y+z=19\) 를 만족하는 양의 홀수해의 순서쌍의 개수를 구하여라. 정답 45개

함수 \(f(x)=\sqrt{[x]+1-\left ( x- [x] \right )^2 }\;\; (x \ge 0)\) 과 직선 \(x=n-1,\; x=n\) 및 \(x\) 축으로 둘러싸인 도형을 \(x\) 축의 둘레로 회전시킨 도형의 부피를 \(V_n\) 이라 할 때, \(\lim \limits _{n \to \infty} \dfrac{\sum \limits _{k=1}^{n} V_k }{n^2}\) 의 값은? (단, \([x]\) 는 \(x\) 보다 크지 않은 최대의 정수) ① \(\dfrac{\pi}{2}\) ② \(\pi\) ③ \(\dfrac{3\pi}{2}\) ④ \(2\pi\) ⑤ \(\dfrac{5\pi}{2}\) 정답 ①

다음은 곡선 \(y=e^x\) 위의 점 \({\rm P}(x,\;y)\) 에서의 접선이 \(x\) 축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 \(f(x)\) 라 할 때, \(\displaystyle \int _{-1}^{1} f(x) dx\) 의 값을 구하는 과정이다. \(\left ( 단, \; 0

오른쪽 그림과 같이 물이 가득 채워져 있는 직원기둥의 물통을 천천히 기울여 물을 쏟다가 밑면의 중심 \(\rm O\) 에 수면이 닿을 때, 멈추었다. 처음 물통에 채워져 있는 물의 양을 \(V\), 남아 있는 물의 양을 \(V_1\) 이라 할 때, \(\dfrac{V_1}{V}\) 의 값은? ① \(\dfrac{2}{3\pi}\) ② \(\dfrac{4}{3\pi}\) ③ \(\dfrac{2}{3} \pi\) ④ \(\dfrac{3}{4} \pi\) ⑤ \(\dfrac{2}{3} \pi\)

자연수 \(n\) 에 대하여 \(f_n (x)= \displaystyle \int x(x+1)^n dx,\;\; f_n (-1) =0\) 일 때, \(\sum \limits _{n=1}^{6} f_n (1)\) 의 값을 구하시오.

오른쪽 그림과 같은 그릇에 물을 넣을 때, 깊이가 \(x\) 이면 수면의 넓이 \(S(x)\) 는 \(S(x)=\dfrac {4}{81} x^3 + \dfrac{2}{9} x +1\) 이고, 수면의 상승 속도는 시각 \(t\) 에 대하여 \(v(t)=6-2t\) 라 한다. 이 때, 이 그릇에 담을 수 있는 물의 부피의 최댓값을 구하시오. (단, 처음에는 그릇에 물이 담겨져 있지 않다.)