수악중독

그림과 같이 편평한 바닥에 \(60^{\circ}\) 로 기울어진 경사면과 반지름의 길이가 \(0.5 \rm m\) 인 공이 있다. 이 공의 중심은 경사면과 바닥이 만나는 점에서 바닥에 수직으로 높이가 \(21 \rm m\) 인 위치에 있다. 이 공을 자유낙하 시킬 때, \(t\) 초 후 공의 중심의 높이 \(h(t)\) 는 \(h(t)=21-5t^2 (\rm m)\) 라고 한다. 공이 경사면과 처음으로 충돌하는 순간, 공의 속도는? (단, 경사며면의 두께와 공기의 저항은 무시한다.) ① \(-20 \rm m\)/초 ② \(-17 \rm m\)/초 ③ \(-15 \rm m\)/초 ④ \(-12 \rm m\)/초 ⑤ \(-10 \rm m\)/초 정답 ①

함수 \(f(x)=\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{\left ( x^2 +\dfrac{1}{2} \right ) ^2 -2}{\left ( x^2 + \dfrac{1}{2} \right )^n +2}\) 에 대하여 \(f \left ( \dfrac{\sqrt{2}}{2} \right ) + \lim \limits_{x \to \frac{\sqrt{2}}{2}-0} f(x)\) 의 값은? ① \(-\dfrac{4}{3}\) ② \(-1\) ③ \(0\) ④ \(1\) ⑤ \(\dfrac{4}{3}\) 정답 ①

\(0 \le x \le 1\) 에서 정의된 다항함수 \(f(x)\) 가 다음 두 조건을 만족한다. (가) \(1

실수 전체의 집합에서 연속인 함수 \(f(x)\) 가 있다. \(2\) 이상인 자연수 \(n\) 에 대하여 닫힌구간 \([0,\;1]\) 을 \(n\) 등분한 각 분점 (양 끝점도 포함) 을 차례대로 \(0=x_0 , \;x_1 ,\; x_2 ,\; \cdots ,\; x_{n-1} ,\; x_n =1\) 이라 할 때, 옳은 것만을 에서 있는 대로 고른 것은? ㄱ. \(n=2m\) (\(m\) 은 자연수)이면 \(\sum \limits_{k=1}^{m-1} \dfrac{f(x_{2k})}{m} \le \sum \limits_{k=1}^{n-1} \dfrac{f(x_k )}{n}\) 이다. ㄴ. \(\lim \limits_{n \to \infty} \sum \limits_{k=1}^{n} \dfrac{1}..

함수 \(f(x)=x^2 +ax+b\; (a \ge 0,\; b \ge 0 )\) 가 있다. 그림과 같이 \(2\) 이상인 자연수 \(n\) 에 대하여 닫힌구간 \([0,\;1]\) 을 \(n\) 등분한 각 분점 (양 끝점도 포함)을 차례로 \(0=x_0 ,\; x_1 ,\; x_2 ,\; \cdots , \; x_{n-1} ,\; x_n =1\) 이라하자. 닫힌구간 \([x_{k-1} ,\; x_k ]\) 를 밑변으로 하고 높이가 \(f(x_k )\) 인 직사각형의 넓이를 \(A_k\) 라 하자. \((k=1,\;2,\;3,\;\cdots,\; n)\) 양 끝에 있는 두 직사각형의 넓이의 합이 \(A_1 +A_n = \dfrac{7n^2+1}{n^3}\) 일 때, \(\lim \limits_{n \to..

함수 \(f(x)=x^2\) 에 대하여 그림과 같이 구간 \([0,\;1]\) 을 \(2n\) 등분한 후, 구간 \(\left [ \dfrac{k-1}{2n},\; \dfrac{k}{2n} \right ] \) 을 밑변으로 하고 높이가 \(f \left ( \dfrac{k}{2n}\right ) \) 인 직사각형의 넓이를 \(S_k\) 라 하자. (단, \(n\) 은 자연수이고 \(k=1,\;2,\;3,\;\cdots,\;2n\) 이다.) 에서 옳은 것을 모두 고른 것은? ㄱ. \(\lim \limits_{n \to \infty} \sum \limits_{k=1}^{n} S_k = \displaystyle \int _{0}^{\frac{1}{2}} x^2 dx\) ㄴ. \(\lim \limits_{n \..

함수 \(y=f(x)\) 가 모든 실수에서 연속이고, \(\left | x \right | \ne 1\) 인 모든 \(x\) 의 값에 대하여 미분계수 \(f'(x)\) 가 \[f'(x)= \left \{ \matrix {x^2 & \left ( \left | x \right | 1 \right )} \right. \] 일 때, 다음 중 옳은 것을 모두 고른 것은? ㄱ. 함수 \(y=f(x)\) 는 \(x=-1\) 에서 극값을 갖는다. ㄴ. 모든 실수 \(x\) 에 대하여 \(f(x)=f(-x)\) 이다. ㄷ. \(f(0)=0\) 이면 \(f(1)>0\) 이다. ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄷ ④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ④

함수 \(f(x)=x^3 -3x\) 에 대하여 구간 \([0,\; a_1 ]\) 에서의 평균변화율과 같은 순간변화율(미분계수)을 갖는 점의 \(x\) 좌표를 \(a_2\), 구간 \([0, \; a_2 ] \) 에서의 평균변화율과 같은 순간변화율(미분계수)을 갖는 점의 \(x\) 좌표를 \(a_3\) 라고 하자. 이와 같이 계속하여 \(a_4 , \; a_5 , \; \cdots\) 를 정할 때, 옳은 내용을 에서 모두 고른 것은? (단, \(a_1 ,\; a_2 , \; a_3 ,\; \cdots\) 은 양수이다. ㄱ. 모든 자연수 \(n\) 에 대하여 \(f(a_n ) >f(a_{n+1})\) 이다. ㄴ. 모든 자연수 \(n\) 에 대하여 \(f'(a_n ) > f'(a_{n+1})\) 이다. ㄷ. ..

모든 모서리의 길이가 \(3\) 인 정사각뿔에 내접하는 직육면체의 부피의 최댓값은? ① \(2 \sqrt{2}\) ② \(3 \sqrt{2}\) ③ \(4 \sqrt{2}\) ④ \(5 \sqrt{2}\) ⑤ \(6 \sqrt{2}\) 정답 ①

계수가 실수인 삼차함수 \(y=f(x)\) 가 있다. 방정식 \(f(x)=0\) 과 \(f'(x)=0\) 의 근에 관한 의 설명 중 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ㄱ. \(f'(x)=0\) 이 서로 같은 실근을 가지면, \(f(x)=0\) 도 반드시 서로 같은 실근을 갖는다. ㄴ. \(f'(x)=0\) 이 허근을 가지면, \(f(x)=0\) 도 반드시 허근을 갖는다. ㄷ. \(f'(x)=0\) 이 서로 다른 두 실근을 가지면, \(f(x)=0\) 도 반드시 서로 다른 두 실근을 가진다. ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄴ, ㄷ 정답 ②