수악중독

삼차함수 \(y=f(x)\) 가 극댓값 \(\dfrac{1}{2}\), 극솟값 \(-2\) 를 가질 때, 함수 \(g(x)\) 를 다음과 같이 정의한다. \[g(x)=\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{1}{1+\{ f(x) \}^{2n}}\] 이때, 실수 전체의 집합에서 함수 \(y=g(x)\) 는 \(x=\alpha\) 에서 불연속이다. \(\alpha\) 의 개수는? ① \(1\) ② \(2\) ③ \(3\) ④ \(4\) ⑤ \(5\) 정답 ④

직선 \(x=a\) 가 곡선 \(f(x)=x^3 -ax^2 -100x +10\) 의 극대가 되는 점과 극소가 되는 점 사이를 지날 때, 정수 \(a\) 의 개수를 구하시오. 정답 19

그림은 삼차함수 \(f(x)=x^3 -3x^2 +3x\) 의 그래프이다. 원점을 지나고 곡선 \(y=f(x)\) 에 접하는 직선은 두 개이다. 두 접선과 곡선 \(y=f(x)\) 의 교점 중 원점이 아닌 점들의 \(x\) 좌표의 합을 \(S\)라 하자. 이때, \(10S\) 의 값을 구하시오. 정답 45

미분가능한 두 함수 \(f(x)\) 와 \(g(x)\) 의 그래프는 \(x=a\) 와 \(x=b\) 에서 만나고, \(a

모든 실수 \(x\) 에 대하여 부등식 \[3x^4 -8x^3 -6x^2 +24x \ge k-2 \sin \left (\dfrac{\pi}{2}x \right )\] 가 성립할 때, 상수 \(k\) 의 최댓값은? ① \(-23\) ② \(-22\) ③ \(-21\) ④ \(-20\) ⑤ \(-19\) 정답 ③

함수 \(f(x)\) 에 대하여 옳은 것만을 에서 있는 대로 고른 것은?ㄱ. 함수 \(f(x)\) 가 \(x=c\) 에서 미분가능하면 \(x=c\) 에서 연속이다. (단, \(c\) 는 실수)ㄴ. 극한값 \(\lim \limits_{h \to 0} \dfrac{f(a+h)-f(a-h)}{2h}\) 가 존재하면 함수 \(f(x)\) 는 \(x=a\) 에서 미분가능하다. (단, \(a\) 는 실수)ㄷ. 극한값 \(\lim \limits_{h \to 0} \dfrac{f \left ( 1+h^2 \right ) -f(1)}{h^2}\) 이 존재하면 함수 \(f(x)\) 는 \(x=1\) 에서 미분가능하다. ① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ①

모든 실수에서 정의된 함수 \(y=f(x)\) 에 대하여 함수 \(y=x^k f(x)\) 가 \(x=0\) 에서 연속이 되도록 하는 가장 작은 자연수 \(k\) 를 \( N(f)\) 로 나타내자. 예를 들면 , $f(x)= \begin{cases} \dfrac{1}{x} & (x \ne 0) \\ 0 & (x=0) \end{cases}$ 이면 \(N(f)=2\) 이다. 다음 함수 \(g_i \; (i=1,\;2,\;3)\) 에 대하여 \(N(g_i ) = a_i \) 라 할 때, \( a_i\) 의 대소 관계를 옳게 나타낸 것은? ① \(a_1 = a_2 < a_3 \) ② \(a_1

함수 \(f(x)=x^2 -4x+a\) 와 함수 \(g(x) = \lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{2 \left | x-b \right | ^n +1}{\left | x-b \right | ^n +1} \) 에 대하여 \(h(x)=f(x)g(x)\) 라 하자. 함수 \( h(x)\) 가 모든 실수 \(x\) 에서 연속이 되도록 하는 두 상수 \(a,\;b\) 의 합 \( a+b\) 의 값은?① \(3\) ② \(4\) ③ \(5\) ④ \(6\) ⑤ \(7\) 정답 ③

그림은 원점 \(\rm O\) 에 대하여 대칭인 삼차함수 \(f(x)\) 의 그래프이다. 곡선 \(y=f(x)\) 와 \(x\) 축이 만나는 점 중 원점이 아닌 점을 각각 \(\rm A, \; B\) 라 하고, 함수 \(f(x)\) 의 극대, 극소인 점을 각각 \(\rm C,\;D\) 라 하자. 점 \(\rm D\) 의 \(x\) 좌표가 \(\dfrac{1}{2}\) 이고 사각형 \(\rm ADBC\) 의 넓이가 \(\sqrt{3}\) 일 때, 함수 \(f(x)\) 의 극댓값은? ① \(1\) ② \(\dfrac{4}{3}\) ③ \(\dfrac{5}{3}\) ④ \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) ⑤ \(\sqrt{2}\) 정답 ①

수직선 위에서 움직이는 두 점 \(\rm P, \; Q\) 가 있다. 출발한 지 \(t\) 초 후 두 점 \(\rm P,\; Q\) 의 위치가 각각 \( x_1 (t) = kt,\;\; x_2 (t)=t^3 -3t^2 +27\) 일 때, 점 \(\rm P, \;Q\) 가 적어도 한 번 만나게 되는 상수 \(k\) 의 최솟값을 구하시오. 정답 9