수악중독

함수 \( y=f(x) \) 의 그래프가 오른쪽 그림과 같을 때, 함수 \( F(x) \) 를 \[F(x) = \int_a^x {f(t){\rm{d}}t} \] 로 정의한다. 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? (단, \( \alpha < 0

\( f(x), \; f'(x) \) 는 모두 연속함수 이고, \( f(x) = x^2 + 2x + \displaystyle \int_0^x {(x - t)f'(t){\rm{d}}t} \)일 때, \( f'(2) - f(2) \) 의 값은? ① \(1\) ② \(2\) ③ \(3\) ④ \(6\) ⑤ \(9\) 정답 ④

삼차함수 \( y = f(x) \) 가 모든 실수 \( x \) 에 대하여 \( f(1+x) + f(1-x)=2 \) 를 만족시킬 때, 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? ㄱ. 곡선 \( y = f(x+1)-1 \) 은 원점에 대하여 대칭이다. ㄴ. \( \displaystyle \int_0^2 {f(x){\rm{d}}x} = \int_0^2 {x{\rm{d}}x} \) ㄷ. \( \displaystyle \int_0^2 {\pi {{\{ f(x)\} }^2}{\rm{d}}x} = \int_0^2 {\pi {x^2}{\rm{d}}x} \) ① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ②

다음중 \( \displaystyle \int_0^a {f(x){\rm{d}}x} - \int_a^0 {f( - x){\rm{d}}x} \) 와 그 값이 같은 것은? ① \( 0 \) ② \( \displaystyle 2\int_0^a {f(x){\rm{d}}x} \) ③ \( \displaystyle 2\int_{ - a}^0 {f(x){\rm{d}}x} \) ④ \( \displaystyle \int_{ - a}^a {f(x){\rm{d}}x} \) ⑤ \( \displaystyle 2\int_{ - a}^a {f(x){\rm{d}}x} \) 정답 ④

삼차함수 \( f(x) = x^3 - 3x - 1 \) 이 있다. 실수 \( t \; ( t \geq -1 ) \) 에 대하여 \( -1 \leq x \leq t \) 에서 \( |f(x)| \) 의 최댓값을 \( g(t) \) 라고 하자. \( \displaystyle \int_{-1}^{1}g(t)\rm d \it t = \dfrac{q}{p} \) 일 때, \( p + q \) 의 값을 구하시오. (단, \( p , \; q \) 는 서로소인 자연수이다.) 정답 17

\( a_1 = 2 , \; a_2 = 4 \) 이고 다음 조건을 만족하는 수열 \( \{ a_n \} \) 에 대하여 \(\sum\limits_{n = 1}^{20} a_n \) 의 값을 구하시오 (가) \( a_n < a_{n+1} \; (n=1,\;2,\;3,\;\cdots)\) (나) \(\displaystyle\int_{{a_n}}^0 {{a_{n + 1}}{\rm{d}}x - } \int_{{a_{n + 2}}}^0 {{a_{n + 1}}{\rm{d}}x} = \int_0^{{a_{n + 2}}} x {\rm{d}}x - \int_0^{{a_n}} x {\rm{d}}x\) 정답 420

함수 \( f(x) = x^3 \) 의 그래프를 \( x \) 축 방향으로 \( a \) 만큼, \( y \) 축 방향으로 \( b \) 만큼 평행이동시켰더니 함수 \( y = g(x) \) 의 그래프가 되었다. \( g(0)=0 \) 이고 \(\displaystyle\int_0^{3a} {g(x){\rm{d}}x - } \int_0^{2a} {f(x){\rm{d}}x} = 32\) 일 때, \( a^4 \) 의 값을 구하시오. 정답 16

이차함수 \( f(x) = ax^2 + bx \) 와 직선 \( g(x) = mx +2 \) 의 그래프가 그림과 같이 \( x \) 좌표가 \( -1 \) 과 \( 3 \) 인 서로 다른 두 점에서 만나고 있다. 이때, \(\displaystyle \int_{ - 3}^3 {f(x){\rm{d}}x - } \int_{ - 3}^3 {g(x){\rm{d}}x} \)의 값을 구하면? ① \( -3 \) ② \( -2 \) ③ \(-1\) ④ \(0\) ⑤ \(1\) 정답 ④

포물선 \( y = x^2 \) 위의 한 점 \( {\rm P} ( x, \; y ) \) 에서 접선이 \( x \) 축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 \( \theta (x) \) 라 할 때 \( \displaystyle \int_0^1 {\tan \theta (x){\rm{d}}x} \) 의 값은? ① \( \dfrac{ \sqrt 3}{3} \) ② \( \dfrac{1}{3} \) ③ \(\dfrac{1}{2}\) ④ \( \dfrac{\sqrt 2 }{2}\) ⑤ \( 1 \) 정답 ⑤

함수 \( f(x) = (x-a)(x-b) \) 는 다음을 만족시킨다.\[ \displaystyle \int_{a}^{\dfrac{a+b}{2}}f(x)dx = - \dfrac{2}{3} , \; f(0)=1 \] 이 때, \( a^2 + b^2 \) 의 값은? (일반적으로, \( \displaystyle \int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)(x-\beta)dx = - \dfrac{(\beta - \alpha ) ^3 }{6} \) 이 성립한다.) ① \(2\) ② \(4\) ③ \(6\) ④ \(8\) ⑤ \(10\) 정답 ③