수악중독

중심이 \(\rm O\) 인 원에 내접하는 삼각형 \(\rm ABC\) 가 있다. 선분 \(\rm AB,\;BC,\;CD\) 의 중점을 각각 \(\rm P,\;Q,\;R\) 이라 하고 삼각형 \(\rm ABC\) 의 무게 중심을 \(\rm G\) 라 하자. 원을 포함하는 평면 위의 한 점 \(\rm H\) 가 \[\overrightarrow{\rm AH}\cdot \overrightarrow{\rm BC}=\overrightarrow{\rm BH}\cdot \overrightarrow{\rm CA}=0\] 을 만족시킬 때, 옳은 것만을 에서 있는 대로 고른 것은? ㄱ. \(\overrightarrow{\rm OQ} \cdot \overrightarrow{\rm PR}=0\) ㄴ. \( \overright..

반지름의 길이가 \(2\) 인 구의 중심 \(\rm O\) 를 지나는 평면을 \(\alpha\) 라 하고, 평면 \(\alpha\) 와 이루는 각이 \(45^{\rm o}\) 인 평면을 \(\beta\) 라 하자. 평면 \(\alpha\) 와 구가 만나서 생기는 원을 \(C_1\), 평면 \(\beta\) 와 구가 만나서 생기는 원을 \(C_2\) 라 하자. 원 \(C_2\) 의 중심 \(\rm A\) 와 평면 \(\alpha\) 사이의 거리가 \(\dfrac{\sqrt{6}}{2}\) 일 때, 그림과 같이 다음 조건을 만족하도록 원 \(C_1\) 위에 점 \(\rm P\), 원 \(C_2\) 위에 두 점 \(\rm Q, \;R\) 를 잡는다. (가) \(\angle \rm QAR=90^{\rm o}\)..

\(\overline{\rm AB}=\overline{\rm BC}=\overline{\rm CD}=2\) 이고 \(\overline{\rm AD}=4\) 인 등변사다리꼴 \(\rm ABCD\) 가 있다. 점 \(\rm A\) 는 평면 \(\alpha\) 위의 점이고, 점 \(\rm C\) 에서 평면 \(\alpha\) 에 이르는 거리는 \(3\) 이다. 직선 \(\rm BD\) 와 평면 \(\alpha\) 가 이루는 예각의 크기가 \(30^{\rm o}\) 일 때, 점 \(\rm D\) 에서 평면 \(\alpha\) 에 이르는 거리는 \(a+b\sqrt{3}\) 이다. \(9(a+b)\) 의 값을 구하시오. (단, \(a,\;b\) 는 유리수이다.) 정답 \(24\)

평면 \(\alpha\) 위에 중심이 \(\rm O\) 이고 반지름의 길이가 \(2\) 인 원 \(C\) 가 있다. 직선 \(l\) 은 평면 \(\alpha\) 와 \(45^{\rm o}\) 의 각을 이루고, 직선 \(l\) 과 점 \(\rm O\) 사이의 거리는 \(2\) 이다. 점 \(\rm O\) 를 지나고 \(\alpha\) 에 수직인 직선이 \(l\)과 만날 때, \(l\) 을 포함하고 \(C\)와 한 점에서 만나는 두 평면이 이루는 예각의 크기를 \(\theta\) 라 하자. \(\cos ^2 \theta = \dfrac{q}{p}\) 일 때, \(p+q\) 의 값을 구하시오. (단, \(p, \;q\) 는 서로소인 자연수이다.) 정답 \(10\)

그림과 같이 평면 \(\alpha\) 와 교선 \(\rm A_1A_4\) 를 갖고, \(\angle \rm A_2=90^{\rm o}\) 인 사각형 \(\rm A_1A_2A_3A_4\) 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) \(\overline{{\rm A}_k{\rm A}_{k+1}}=5-k \;\; (k=1,\;2,\;3)\) (나) 평면 \(\alpha\) 와 선분 \({\rm A}_k{\rm A}_{k+1}\) 이 이루는 각을 \(\theta_k\) 라 할 때, \(\sin \theta_k=\dfrac{k}{6}\) 이다. (\(k=2, \;3\)) \(\angle \rm A_4=\theta\) 라 하자. \(20 \tan ^2 \theta\) 의 값을 구하시오. 정답 \(45\)

평면 \(\alpha\) 위의 점 \(\rm A\) 와 평면 \(\alpha\) 위에 있지 않은 두 점 \(\rm B,\;C\) 에 대하여 직선 \(\rm AB\) 와 직선 \(\rm BC\) 가 평면 \(\alpha\) 와 이루는 각은 각각 \(30^{\rm o}\) 이고, 직선 \(\rm AC\) 가 평면 \(\alpha\) 와 이루는 각은 \(45^{\rm o}\) 이다. \(\overline{\rm AB}=4\) 이고, 선분 \(\rm AC\) 위의 한 점 \(\rm P\) 가 \(\overline{\rm BP}=\overline{\rm CP},\; \overline{\rm BP} \parallel \alpha\) 를 만족시킬 때, \(\overline{\rm AC}^2\) 의 값을 구하시오. (..

좌표공간 위에 방정식 \[x^2+(y-3)^2=1 \;\;(z\; 는\; 실수)\] 가 나타내는 도형을 \(S\) 라 하자. 도형 \(S\) 와 \(xy\) 평면이 만나서 생기는 도형을 \(C_1\), 도형 \(S\) 와 평면 \(3y-4z=0\) 이 만나서 생기는 도형을 \(C_2\) 라 하자. 두 도형 \(C_1, \;C_2\) 의 중심을 각각 \(\rm O_1, \; O_2\) 라 하고 도형 \(C_1, \; C_2\) 위의 임의의 점을 각각 \(\rm P, \;Q\) 라 하자. 두 점 \(\rm P, \;Q\) 가 내적 \(\overrightarrow{\rm O_1P} \cdot \overrightarrow{\rm O_2Q}=\dfrac{1}{2}\) 을 만족할 때, 선분 \(\rm PQ\) 의 ..

그림과 같이 길이가 \(4\) 인 선분 \(\rm AB\) 를 밑면의 지름으로 하는 반구가 벽면에 접하면서 고정되어 있다. 햇빛이 벽면과 \(30^{\rm o}\) 의 각을 이루고 지름 \(\rm AB\) 에 수직으로 비칠 때, 벽면에 생기는 반구의 그림자의 넓이는? (단, 반구의 밑변은 벽면과 평행하고, 반구의 그림자는 모두 벽면에만 생긴다.) ① \(4\pi\) ② \(\left ( 2+2\sqrt{3} \right ) \pi\) ③ \(4\sqrt{2}\pi\) ④ \(6\pi\) ⑤ \(\left ( 2+4\sqrt{3} \right ) \pi\) 정답 ④

그림과 같이 투명한 유리판 위에 \(\overline{\rm AB}=2\sqrt{3}\), \(\overline{\rm BC}=6\) 인 직사각형 \(\rm ABCD\) 모양의 종이가 놓여 있고, 점 \(\rm O\) 를 중심으로 하고 반지름의 길이가 \(2\) 인 원판이 유리판과 한 점 \(\rm M\) 에서 만나고 있다. \(\rm M\) 은 선분 \(\rm AB\) 의 중점이고, \(\overline{\rm AB} \perp \overline{\rm OM}\) 이다. 두 점 \(\rm C, \;D\) 의 중점을 \(\rm N\) 이라 할 때, \(\angle \rm OMN=60^{\rm o}\) 이다. 태양광선이 원판을 포함하는 평면에 수직인 방향으로 비출 때, 직사각형 \(\rm ABCD\) 모양..

직선 \(l\) 을 교선으로 하는 두 평면 \(\alpha, \; \beta\) 가 있다. 그림과 같이 평면 \(\alpha\) 위에 \(\overline{\rm AC}=\overline{\rm BC}=1\) 이고, 변 \(\rm BC\) 는 직선 \(l\) 과 평행한 삼각형 \(\rm ABC\) 가 있다. 세 점 \(\rm A, \;B,\;C\) 에서 평면 \(\beta\) 에 내린 수선의 발을 각각 \(\rm D, \;E,\;F\) 라 하면 다음이 성립한다. (가) 직선 \(\rm DF\) 는 직선 \(l\) 과 수직이다. (나) 삼각형 \(\rm DEF\) 의 넓이는 \(\dfrac{1}{3}\) 이다. 두 직선 \(\rm AB, \;DE\) 가 이루는 예각의 크기를 \(\theta\) 라 할 때,..