수악중독

좌표평면에서 포물선 \(C_1 : x^2=4y\) 의 초점을 \(\rm F_1\), 포물선 \(C_2 : y^2=8x\) 의 초점을 \(\rm F_2\) 라 하자. 점 \(\rm P\) 는 다음 조건을 만족시킨다. (가) 중심이 \(C_1\) 위에 있고, 점 \(\rm F_1\) 을 지나는 원과 중심이 \(C_2\) 위에 있고, 점 \(\rm F_2\) 를 지나는 원의 교점이다. (나) 제\(3\)사분면에 있는 점이다. 원점 \(\rm O\) 에 대하여 \(\overline{\rm OP}^2\) 의 최댓값을 구하시오. 정답 \(5\)

타원 \(E:\dfrac{x^2}{36}+\dfrac{y^2}{10}=1\) 의 두 초점을 \(\rm F, \;F'\) 이라 하자. 타원 \(E\) 위의 점 \(\rm P\) 에 대하여 그림과 같이 선분 \(\rm F'P\) 의 연장선 위에 \(\overline{\rm PF}=\overline{\rm PQ}\) 인 점 \(\rm Q\) 를 타원의 외부에 정하고, 선분 \(\rm FQ\) 의 중점을 \(\rm R\) 라 하자. 점 \(\rm P\) 가 타원 \(E\) 위의 모든 점을 지날 때, 점 \(\rm R\) 가 나타내는 도형의 둘레의 길이는? ① \(6\pi\) ② \(9\pi\) ③ \(12\pi\) ④ \(15\pi\) ⑤ \(18\pi\) 정답 ⑤

좌표평면 위에 두 점 \({\rm F}_1(c, \;0), \; {\rm F'}(-c, \;0)\;(c>0)\) 을 초점으로 하는 타원이 있다. 이 타원의 장축의 양 끝점 중 \(\rm F_1\) 에 가까운 점을 \(\rm A\) 라 할 때, \(\overline{\rm AF_1}=1\) 이다. \(\rm F_1\) 을 지나고 기울기가 \(-3\) 인 직선이 티원과 제\(1\)사분면에서 만나는 점을 \(\rm P\) 라 할 때, 직선 \(\rm PF_2\) 의 기울기는 \(\dfrac{3}{4}\) 이다. \(\overline{\rm PF_1}\times \overline{\rm PF_2}\) 의 값은? ① \(2\sqrt{10}\) ② \(4\sqrt{3}\) ③ \(2\sqrt{14}\) ④ \(8\..

좌표평면에서 점 \(\rm A(1,\;0)\) 과 포물선 \(y^2=4x\) 위의 한 점 \(\rm B\) 에 대하여 선분 \(\rm AB\) 와 타원 \(\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{3}=1\) 의 교점을 \(\rm C\) 라 하자. \(\overline{\rm AB}=5\) 일 때, 삼각형 \(\rm OAC\) 의 넓이는? (단, \(\rm O\) 는 원점이고, 점 \(\rm B\) 는 제\(1\)사분면 위의 점이다.) ① \(\dfrac{3}{26}\) ② \(\dfrac{3}{13}\) ③ \(\dfrac{9}{26}\) ④ \(\dfrac{6}{13}\) ⑤ \(\dfrac{26}{13}\) 정답

그림과 같이 \(x\) 축 위의 점 \(\rm P\) 에서 원 \(x^2+y^2=1\) 에 그은 접선의 접점을 \(\rm A\), \(y\) 축과의 교점을 \(\rm B\) 라 하고, 타원 \(4x^2+y^2=4\) 에 그은 접선의 접점을 \(\rm C\), \(y\) 축과의 교점을 \(\rm D\) 라 하자. \(\overline{\rm PA}:\overline{\rm AB}=2:1\) 일 때, 삼각형 \(\rm POD\) 의 넓이 \(S\) 에 대하여 \(10S^2\) 의 값을 구하시오. (단, \(\rm O\) 는 원점이다.) 정답 \(45\)

좌표평면에서 원 \(x^2+y^2=4\)와 타원 \(\dfrac{x^2}{4}+y^2=1\) 에 대하여 점 \((3, \;1)\) 을 지나고 기울기가 \(m\) 인 직선이 원과 만나는 점의 \(x\) 좌표를 원소로 하는 집합을 \(A\), 타원과 만나는 점의 \(x\) 좌표를 원소로 하는 집합을 \(B\) 라 하자. 집합 \(A \cup B\) 의 원소의 개수가 \(3\)이 되도록 하는 모든 \(m\) 의 값의 합은? ① \(\dfrac{6}{5}\) ② \(\dfrac{7}{5}\) ③ \(\dfrac{11}{5}\) ④ \(\dfrac{12}{5}\) ⑤ \(\dfrac{13}{5}\) 더보기 정답 ④

그림과 같이 두 점 \(\rm F, \;F'\) 을 초점으로 하고 중심이 원점이 쌍곡선과 점 \(\rm F\) 를 중심으로 하고 점 \(\rm F'\) 을 지나는 원이 만나는 점 중 제\(1\)사분면의 점을 \(\rm P\), 제\(2\)사분면의 점을 \(\rm Q\) 라고 하자. \(\angle \rm F'FP=120^{\rm o}\) 일 때, \(\dfrac{\overline{\rm PF'}}{\overline {\rm QF'}}\) 의 값은? ① \(3-\sqrt{3}\) ② \(\sqrt{3}\) ③ \(3+\sqrt{3}\) ④ \(3+2\sqrt{3}\) ⑤ \(3+3\sqrt{3}\) 정답 ④

그림과 같이 준선의 방정식이 \(x=0\) 인 포물선 \(C\) 의 초점이 쌍곡선 \(\dfrac{x^2}{9}-\dfrac{y^2}{7}=1\) 의 두 초점 \(\rm F, \;F'\) 중 한 초점 \(\rm F\) 와 일치한다. 쌍곡선과 포물선의 두 교점을 각각 \(\rm P, \;Q\) 라 할 때, \(\rm PQ\) 의 길이는 \(a\) 이다. \(a^2\) 의 값을 구하시오. (단, 점 \(\rm F\) 의 \(x\) 좌표는 양수이다.) 정답 \(224\)

그림과 같이 점 \({\rm A}(-5, \;0)\) 을 중심으로 하고 반지름의 길이가 \(r\) 인 원과 타원 \(\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{16}=1\) 의 한 교점을 \(\rm P\) 라 하자. 점 \({\rm B}(3,\;0)\) 에 대하여 \(\overline{\rm PA}+\overline{\rm PB}=10\) 일 때, \(10r\) 의 값을 구하시오. 정답 \(26\)

좌표공간에 있는 원기둥이 다음 조건을 만족시킨다. (가) 높이는 \(8\) 이다. (나) 한 밑면의 중심은 원점이고 다른 밑면은 평면 \(z=10\) 과 오직 한 점 \((0,\;0,\;10)\) 에서 만난다. 이 원기둥의 한 밑면의 평면 \(z=10\) 위로의 정사영의 넓이는? ① \(\dfrac{139}{4}\pi\) ② \(\dfrac{144}{5}\pi\) ③ \(\dfrac{149}{5}\pi\) ④ \(\dfrac{154}{5}\pi\) ⑤ \(\dfrac{159}{5}\pi\) 정답 ②