수악중독

그림과 같이 \(\overline{\rm AB} =9,\; \overline{\rm BC} =12,\; \cos(\angle {\rm ABC}) = \dfrac{\sqrt{3}}{3}\) 인 사면체 \(\rm ABCD\) 에 대하여 점 \(\rm A\) 의 평면 \(\rm BCD\) 위로의 정사영을 \(\rm P\) 라 하고 점 \(\rm A\) 에서 선분 \(\rm BC\) 에 내린 수선의 발을 \(\rm Q\) 라 하자. \(\cos(\angle {\rm AQP}) = \dfrac{\sqrt{3}}{6}\) 일 때, 삼각형 \(\rm BCP\) 의 넓이는 \(k\) 이다. \(k^2\) 의 값을 구하시오. 정답 \(162\)

좌표공간에 두 개의 구 \[ S_1 \;:\; x^2+y^2+(z-3)^2=1,\;\;\; S_2 \;:\; x^2+y^2+(z+3)^2=4\] 가 있다. 점 \({\rm P} \left ( \dfrac{1}{2}, \; \dfrac{\sqrt{3}}{6}, \; 0 \right )\) 을 포함하고, \(S_1\) 과 \(S_2\) 에 동시에 접하는 평면을 \(\alpha\) 라 하자. 점 \({\rm Q} \left ( k, \; -\sqrt{3}, \; 2 \right )\) 가 평면 \(\alpha\) 위의 점일 때, \(120k\) 의 값을 구하시오. 정답 \(40\)

그림과 같이 \(\overline{\rm AB}=\overline{\rm AC}=5,\; \overline{\rm BC}=2\sqrt{7}\) 인 삼각형 \(\rm ABC\) 가 \(xy\) 평면 위에 있고, 점 \(\rm P(1, \; 1,\; 4)\) 의 \(xy\) 평면 위로의 정사영 \(\rm Q\) 는 삼각형 \(\rm ABC\) 의 무게중심과 일치한다. 점 \(\rm P\) 에서 직선 \(\rm BC\) 까지의 거리는?① \(3 \sqrt{2}\) ② \(\sqrt{19}\) ③ \(2\sqrt{5}\) ④ \(\sqrt{21}\) ⑤ \(\sqrt{22}\) 정답 ①

그림과 같이 모든 모서리의 길이가 \(6\) 인 정삼각기둥 \(\rm ABC-DEF\) 가 있다. 변 \(\rm DE\) 의 중점 \(\rm M\) 에 대하여 선분 \(\rm BM\) 을 \(1:2\) 로 내분하는 점을 \(\rm P\) 라 하자. \(\overline{\rm CP}=l\) 일 때, \(10l^2\) 의 값을 구하시오. 정답 \(350\)

그림과 같이 평면 \(\alpha\) 위에 \(\angle {\rm A}=\dfrac{\pi}{2}, \; \overline{\rm AB} = \overline{\rm AC}=2\sqrt{3}\) 인 삼각형 \(\rm ABC\) 가 있다. 중심이 점 \(\rm O\) 이고 반지름의 길이가 \(2\) 인 구가 평면 \(\alpha\) 와 점 \(\rm A\) 에서 접한다. 세 직선 \(\rm OA, \; OB, \; OC\) 와 구의 교점 중 평면 \(\alpha\) 까지의 거리가 \(2\) 보다 큰 점을 각각 \(\rm D, \; E, \; F\) 라 하자. 삼각형 \(\rm DEF\) 의 평면 \(\rm OBC\) 위로의 정사영의 넓이를 \(S\) 라 할 때, \(100S^2\) 의 값을 구하시오. 정..

그림과 같이 좌표평면 위에 세 점 $\rm A(1, \;1), \; B \left ( 2 \sqrt{3},\; 2 \right ), \; C \left ( 3,\; 2\sqrt{2} \right ) $ 를 꼭짓점으로 하는 삼각형 $\rm ABC$ 가 있다. 행렬 $$ \left ( \begin{matrix} \cos \dfrac{n}{24} \pi & -\sin \dfrac{n}{24} \pi \\[15pt] \sin \dfrac{n}{24}\pi & \cos \dfrac{n}{24}\pi \end{matrix} \right ) \; (0

좌표공간에 두 평면 \(\alpha\;:\;4y+3z-6=0\) 과 \(\beta \;:\; 2x+2y-z=0\) 이 있다. 점 \({\rm P} (1,\;0,\;2)\) 는 두 평면 \(\alpha, \; \beta\) 의 교선 위에 있는 점이고 점 \( \rm Q\) 는 다음 조건을 만족시킨다. (가) \( \left | \overrightarrow{\rm PQ} \right | =6\) (나) 직선 \(\rm PQ\) 와 평면 \(\alpha\) 가 이루는 각의 크기는 \(\dfrac{\pi}{4}\) 이다. 점 \(\rm Q\) 의 평면 \(\beta\) 위로의 정사영을 \(\rm Q_1\) 이라 할 때, 선분 \(\rm PQ_1\) 의 길이의 최솟값 \(m\)과 최댓값 \(M\) 의 합은? ① ..

좌표공간의 선분 \(\rm AB\) 를 \(xy, \; yz\) 평면에 정사영 시킨 선분의 길이가 각각 \(a, \; b \) (단, \(a< \;b\)) 일 때, \(\overline{\rm AB}\) 의 최댓값 \(M\) 과 최솟값 \(m\) 에 대하여 \(\sqrt{M^2 - m^2}\) 의 값은? ① \(\sqrt{a^2 +b^2}\) ② \(\sqrt{a^2 -b^2}\) ③ \(a\) ④ \(b\) ⑤ \(b-a\) 더보기 정답 ③

그림과 같이 점 \(\rm O\) 를 중심으로 하고 길이가 \(4\) 인 선분 \(\rm AB\) 를 지름으로 하는 반원이 있다. 이 반원의 내분에 \(\overline{\rm AC}=1\) 인 점 \(\rm C\) 를 잡고, 삼각형 \(\rm ABC\) 의 내접원의 중심을 \(\rm O'\) 이라 하자. 선분 \(\rm AO'\) 의 연장선과 선분 \(\rm BC\) 의 교점을 \(\rm N\), 반원과의 교점을 \(\rm P\) 라 하고, 선분 \(\rm BC\) 의 중점을 \(\rm M\), 선분 \(\rm AM\) 의 연장선과 선분 \(\rm BP\) 의 교점을 \(\rm Q\) 라 하자. \(\overrightarrow{\rm AB}=\overrightarrow{b}, \; \overrighta..

\(\overline{\rm AB}=1,\; \overline{\rm BC}=3\) 이고, \(\angle \rm B=90^{\rm o}\) 인 직각삼각형 \(\rm ABC\) 가 있다. \((x-5)^2+(y-5)^2=10\) 인 두 실수 \(x, \;y\) 에 대하여 \(\rm P\) 가 \(\overrightarrow{\rm BP}=\dfrac{x \overrightarrow{\rm AB}+ y \overrightarrow{\rm AC}}{x+y}\) 를 만족시킬 때, \(\left | \overrightarrow{\rm AP} \right | ^2\) 의 최댓값은 \(\dfrac{q}{p}\) 이다. \(p+q\) 의 값을 구하시오. (단, \(p, \;q\) 는 서로소인 자연수이다.) 정답 \(..