수악중독

$3$ 이상의 자연수 $n$ 에 대하여 $$A_n = \{(p, \; q)\; | \; p

다음 조건을 만족시키는 음이 아닌 정수 $a, \; b, \; c$ 의 모든 순서쌍 $(a, \; b, \; c)$ 의 개수를 구하시오. (가) $a+b+c=14$ (나) $(a-2)(b-2)(c-2) \ne 0$ 더보기 정답 $84$

다음은 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $$\sum \limits_{k=1}^n \dfrac{(-1)^{k-1} {}_n {\rm C}_k}{k} = \sum \limits_{k=1}^n \dfrac{1}{k} \;\; \cdots \cdots (*)$$ 이 성립함을 수학적 귀납법을 이용하여 증명한 것이다. $(\rm i)$ $n=1$ 일 때 (좌변)=$1$, (우변)=$1$ 이므로 $(*)$ 이 성립한다. $(\rm ii)$ $n=m$ 일 때 $(*)$ 이 성립한다고 가정하면 $$\sum \limits_{k=1}^m \dfrac{(-1)^{k-1} {}_m {\rm C}_k}{k} = \sum \limits_{k=1}^m \dfrac{1}{k}$$ 이다. $n=m+1$ 일 때, $$\begin{align..

세 명의 학생 $\rm A, \; B, \; C$ 에게 같은 종류의 빵 $3$ 개와 같은 종류의 우유 $4$ 개를 남김없이 나누어 주려고 한다. 빵만 받는 학생은 없고, 학생 $\rm A$ 는 빵을 $1$ 개 이상 받도록 나누어 주는 경우의 수를 구하시오. (단, 우유를 받지 못하는 학생이 있을 수 있다.) 더보기 정답 $37$

다음 조건을 만족시키는 음이 아닌 정수 $a, \; b, \; c, \; d, \; e$ 의 모든 순서쌍 $(a, \; b, \; c, \; d, \; e)$ 의 개수를 구하시오. (가) $|a-b| \le 2$ (나) $a+b+2c+2d+2e=10$ 더보기 정답 $126$

다섯 명이 둘러앉을 수 있는 원 모양의 탁자와 두 학생 $\rm A, \; B$ 를 포함한 $8$ 명의 학생이 있다. 이 $8$ 명의 학생 중에서 $\rm A, \; B$ 를 포함하여 $5$ 명을 선택하고 이 $5$ 명의 학생 모두를 일정한 간격으로 탁자에 둘러앉게 할 때, $\rm A$ 와 $ \rm B$ 가 이웃하게 되는 경우의 수는? (단, 회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 본다.) ① $18$ ② $200$ ③ $220$ ④ $240$ ⑤ $260$ 더보기 정답 ④

흰 공 $4$ 개와 검은 공 $6$ 개를 세 상자 $\rm A, \; B, \; C$ 에 남김없이 나누어 넣을 때, 각 상자에 공이 $2$ 개 이상씩 들어가도록 나누어 넣는 경우의 수를 구하시오. (단, 같은 색 공끼리는 서로 구별하지 않는다.) 정답 $168$

그림과 같이 바둑판 모양의 도로망이 있다. 이 도로망은 정사각형 $R$ 와 같이 한 변의 길이가 $1$ 인 정사각형 $9$ 개로 이루어진 모양이다. 이 도로망을 따라 최단거리로 $\rm A$ 지점에서 출발하여 $\rm B$ 지점을 지나 다시 $\rm A$ 지점까지 돌아올 때, 다음 조건을 만족시키는 경우의 수를 구하시오.(가) 정사각형 $R$ 의 네 변을 모두 지나야 한다. (나) 한 변의 길이가 $1$ 인 정사각형 중 네 변을 모두 지나게 되는 정사각형은 오직 정사각형 $R$ 뿐이다. 정답 $40$

어느 학교 도서관에서 독서프로그램 운영을 위해 철학, 사회과학, 자연과학, 문학, 역사 분야에 해당하는 책을 각 분야별로 $10$ 권씩 총 $50$ 권을 준비하였다. 한 학급에서 이 $50$ 권의 책 중 $24$ 권의 책을 선택하려고 할 때, 다음 조건을 만족시키도록 선택하는 경우의 수를 구하시오. (단, 같은 분야에 해당하는 책은 서로 구별하지 않는다.)(가) 철학, 사회과학, 자연과학 각각의 분야에 해당하는 책은 $4$ 권 이상씩 선택한다. (나) 문학 분야에 해당하는 책은 선택하지 않거나 $4$ 권 이상 선택한다. (다) 역사 분야에 해당하는 책은 선택하지 않거나 $4$ 권 이상 선택한다. 정답 $396$

자연수 $n$ 에 대하여 $2a+2b+c+d=2n$ 을 만족시키는 음이 아닌 정수 $a, \; b, \; c, \; d$ 의 모든 순서쌍 $(a, \; b, \; c, \; d)$ 의 개수를 $a_n$ 이라 하자. 다음은 $\sum \limits_{n=1}^8 a_n$ 의 값을 구하는 과정이다. 음이 아닌 정수 $a, \; b, \; c, \; d$ 가 $2a+2b+c+d=2n$ 을 만족시키려면 음이 아닌 정수 $k$ 에 대하여 $c+d=2k$ 이어야 한다. $c+d=2k$ 인 경우는 (1) 음이 아닌 정수 $k_1, \; k_2$ 에 대하여 $c=2k_1, \; d=2k_2$ 인 경우이거나 (2) 음이 아닌 정수 $k_3, \; k_4$ 에 대하여 $c=2k_3+1, \; d=2k_4 +1$ 인 경우이..