이항정리_이항계수의 성질_난이도 상 (2020년 10월 교육청 고3 가형 19번)

다음은 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $\sum \limits_{k=1}^n \dfrac{(-1)^{k-1} {}_n {\rm C}_k}{k} = \sum \limits_{k=1}^n \dfrac{1}{k} \;\; \cdots \cdots (*)$ 이 성립함을 수학적 귀납법을 이용하여 증명한 것이다.

 

$(\rm i)$ $n=1$ 일 때 (좌변)=$1$, (우변)=$1$ 이므로 $(*)$ 이 성립한다.

$(\rm ii)$ $n=m$ 일 때 $(*)$ 이 성립한다고 가정하면

$\sum \limits_{k=1}^m \dfrac{(-1)^{k-1} {}_m {\rm C}_k}{k} = \sum \limits_{k=1}^m \dfrac{1}{k}$

 이다. $n=m+1$ 일 때, 

$\begin{aligned} \sum \limits_{k=1}^{m+1} \dfrac{(-1)^{k-1} {}_{m+1}{\rm C}_k}{k} & = \sum \limits_{k=1}^m \dfrac{(-1)^{k-1} {}_{m+1}{\rm C}_k}{k} + \boxed{ \;(가)\; } \\[10pt] &= \sum \limits_{k=1}^m \dfrac{(-1)^{k-1} \left ( {}_m{\rm C}_k + {}_m{\rm C}_{k-1} \right )}{k} + \boxed{ \;(가)\; } \\[10pt] &= \sum \limits_{k=1}^m \dfrac{1}{k} + \sum \limits_{k=1}^{m+1} \left \{ \dfrac{(-1)^{k-1}}{k} \times \dfrac{\boxed{\; (나) \; }}{(m-k+1)! (k-1)!} \right \} \\[10pt] & = \sum \limits_{k=1}^m \dfrac{1}{k} + \sum \limits_{k=1}^{m+1} \left \{ \dfrac{(-1)^{k-1}}{\boxed{\; (다) \; }} \times \dfrac{(m+1)!}{(m-k+1)! k!} \right \} \\[10pt] &= \sum \limits_{k=1}^m \dfrac{1}{k} + \dfrac{1}{m+1} \\[10pt] &= \sum \limits_{k=1}^{m+1} \dfrac{1}{k} \end{aligned}$

이다. 따라서 $n=m+1$ 일 때도 $(*)$ 이 성립한다.

$\rm (i), \; (ii)$ 에 의하여 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $(*)$ 이 성립한다.

 

위의 (가), (나), (다)에 알맞은 식을 각각 $f(m), \; g(m), \; h(m)$ 이라 할 때, $\dfrac{g(3)+h(3)}{f(4)}$ 의 값은?

 

① $40$          ② $45$          ③ $50$          ④ $55$          ⑤ $60$

 

정답 ③