중복조합&이항계수의 성질_난이도 상 (2018년 6월 평가원 가형 20번)

자연수 $n$ 에 대하여 $2a+2b+c+d=2n$ 을 만족시키는 음이 아닌 정수 $a, \; b, \; c, \; d$ 의 모든 순서쌍 $(a, \; b, \; c, \; d)$ 의 개수를 $a_n$ 이라 하자. 다음은 $\sum \limits_{n=1}^8 a_n$ 의 값을 구하는 과정이다.

음이 아닌 정수 $a, \; b, \; c, \; d$ 가 $2a+2b+c+d=2n$ 을 만족시키려면 음이 아닌 정수 $k$ 에 대하여 $c+d=2k$ 이어야 한다. 

$c+d=2k$ 인 경우는 (1) 음이 아닌 정수 $k_1, \; k_2$ 에 대하여 $c=2k_1, \; d=2k_2$ 인 경우이거나 (2) 음이 아닌 정수 $k_3, \; k_4$ 에 대하여 $c=2k_3+1, \; d=2k_4 +1$ 인 경우이다.

(1) $c=2k_1, \; d=2k_2$ 인 경우:

$2a+2b+c+d = 2n$ 을 만족시키는 음이 아닌 정수 $a, \; b, \; c, \; d$ 의 모든 순서쌍 $(a, \; b, \; c , \; d)$ 의 개수는 $\boxed{\;\;(가) \;\;}$ 이다.

(2) $c=2k_3+1, \; d=2k_4+1$ 인 경우:

$2a+2b+c+d=2n$ 을 만족시키는 음이 아닌 정수 $a, \; b, \; c, \; d$ 의 모든 순서쌍 $(a, \; b, \; c, \; d)$ 의 개수는 $\boxed{\;\; (나)\;\;}$ 이다. 

(1), (2)에 의하여 $2a+2b+c+d=2n$ 을 만족시키는 음이 아닌 정수 $a, \; b, \; c, \; d$ 의 모든 순서쌍 $(a, \; b, \; c, \; d)$ 의 개수 $a_n$ 은 

 $a_n = \boxed{\;\; (가) \;\; } + \boxed{\;\; (나)\;\;}$

이다. 자연수 $m$ 에 대하여 

$\sum \limits_{n=1}^m \boxed{\;\; (나)\;\;} = {}_{m+3}{\rm C}_4$

이므로 

 $\sum \limits_{n=1}^8 a_n = \boxed{\;\;(다) \;\;}$

이다.

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 $f(n), \; g(n)$ 이라 하고, (다)에 알맞은 수를 $r$ 라 할 때, $f(6)+g(5)+r$ 의 값은?

① $893$          ② $918$          ③ $943$          ④ $968$          ⑤ $993$

정답 ③