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경우의 수&수학적 귀납법_난이도 중하 (2020년 10월 교육청 고3 나형 18번) 본문

확률과 통계 - 문제풀이/경우의 수

경우의 수&수학적 귀납법_난이도 중하 (2020년 10월 교육청 고3 나형 18번)

수악중독 2020. 11. 3. 02:08

33 이상의 자연수 nn 에 대하여 An={(p,  q)    p<q  이고  p,  q    n  이하의  자연수}A_n = \{(p, \; q)\; | \; p<q \;이고 \; p, \; q \; 는 \; n \; 이하의 \; 자연수\} 이다. 집합 AnA_n 의 모든 원소 (p,  q)(p, \; q) 에 대하여 qq 의 값의 평균을 ana_n 이라 하자. 다음은 33 이상의 자연수 nn 에 대하여 an=2n+23a_n = \dfrac{2n+2}{3} 임을 수학적 귀납법을 이용하여 증명한 것이다.

 

(i)(\rm i) n=3n=3 일 때, A3={(1,  2),  (1,  3),  (2,  3)}A_3 = \{(1, \; 2), \; (1, \; 3), \; (2, \; 3)\} 이므로 a3=2+3+33=83a_3 = \dfrac{2+3+3}{3} = \dfrac{8}{3} 이고 2×3+23=83\dfrac{2 \times 3 + 2}{3}=\dfrac{8}{3} 이다. 그러므로 an=2n+23a_n = \dfrac{2n+2}{3} 가 성립한다.

(ii)(\rm ii) n=k  (k3)n=k\; (k \ge 3) 일 때, ak=2k+23a_k = \dfrac{2k+2}{3} 가 성립한다고 가정하자. n=k+1n=k+1 일 때, Ak+1=Ak{(1,  k+1),  (2,  k+1),  ,  (k,  k+1)}A_{k+1} = A_k \cup \{ (1, \; k+1), \; (2, \; k+1), \; \cdots, \; (k, \; k+1)\} 이고 집합 AkA_k 의 원소의 개수는   ()  \boxed{\; (가) \; } 이므로 ak+1=  ()  ×2k+23+  ()  k+1C2=2k+43=2(k+1)+23a_{k+1} = \dfrac{\boxed{\; (가)\; } \times \dfrac{2k+2}{3} + \boxed{\; (나)\;}}{{}_{k+1}{\rm C}_2} = \dfrac{2k+4}{3}=\dfrac{2(k+1)+2}{3} 이다. 따라서 n=k+1n=k+1 일 때도 an=2n+23a_n = \dfrac{2n+2}{3} 이 성립한다.

(i),  (ii)\rm (i), \; (ii) 에 의하여 33 이상의 자연수 nn 에 대하여 an=2n+23a_n = \dfrac{2n+2}{3} 이다.

 

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 f(k),  g(k)f(k), \; g(k) 라 할 때, f(10)+g(9)f(10)+g(9) 의 값은?

 

131131          ② 133133          ③ 135135          ④ 137137          ⑤ 139139

 

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정답 ③

 

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