수악중독

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 $f(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 닫힌구간 $ [0, \; 1]$ 에서 $f(x)=x$ 이다. (나) 어떤 상수 $a, \; b$ 에 대하여 구간 $[0, \; \infty)$ 에서 $f(x+1)-xf(x)=ax+b$ 이다. $60 \times \displaystyle \int_1^2 f(x) dx$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $110$

최고차항의 계수가 $\dfrac{1}{2}$ 인 삼차함수 $f(x)$ 와 실수 $t$ 에 대하여 방정식 $f'(x)=0$ 이 닫힌구간 $[t, \; t+2]$ 에서 갖는 실근의 개수를 $g(t)$ 라 할 때, 함수 $g(t)$ 는 다음 조건을 만족시킨다. (가) 모든 실수 $a$ 에 대하여 $\lim \limits_{t \to a+} g(t) + \lim \limits_{t \to a-} g(t) \le 2$ 이다. (나) $g(f(1))=g(f(4))=2, \; g(f(0))=1$ $f(5)$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $9$

최고차항의 계수가 $1$ 인 이차함수 $f(x)$ 와 $3$ 보다 작은 실수 $a$ 에 대하여 함수 $g(x)=|(x-a)f(x)|$ 가 $x=3$ 에서만 미분가능하지 않다. 함수 $g(x)$ 의 극댓값이 $32$ 일 때, $f(4)$ 의 값은? ① $7$ ② $9$ ③ $11$ ④ $13$ ⑤ $15$ 더보기 정답 ①

곡선 $y=x^2-4$ 위의 점 ${\rm P} \left (t, \; t^2-4 \right )$ 에서 원 $x^2+y^2=4$ 에 그은 두 접선의 접점을 각각 $\rm A, \; B$ 라 하자. 삼각형 $\rm OAB$ 의 넓이를 $S(t)$, 삼각형 $\rm PBA$ 의 넓이를 $T(t)$ 라 할 때, $$\lim \limits_{t \to 2+} \dfrac{T(t)}{(t-2)S(t)} + \lim \limits_{t \to \infty} \dfrac{T(t)}{\left (t^4-2 \right ) S(t)}$$ 의 값은? (단, $\rm O$ 는 원점이고, $t>2$ 이다.) ① $1$ ② $\dfrac{5}{4}$ ③ $\dfrac{3}{2}$ ④ $\dfrac{7}{4}$ ⑤ $2$ 더보..

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $f(x)$ 와 역함수가 존재하는 삼차함수 $g(x)=x^3+ax^2+bx+c$ 가 다음 조건을 만족시킨다. 모든 실수 $x$ 에 대하여 $2f(x)=g(x)-g(-x)$ 이다. 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, $a, \; b, \; c$ 는 상수이다.) ㄱ. $a^2 \le 3b$ ㄴ. 방정식 $f'(x)=0$ 은 서로 다른 두 실근을 갖는다. ㄷ. 방정식 $f'(x)=0$ 이 실근을 가지면 $g'(1)=1$ 이다. ① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 더보기 정답 ①

최고차항의 계수가 $1$ 인 삼차함수 $f(x)$ 가 $f(0)=0$ 이고, 모든 실수 $x$ 에 대하여 $f(1-x)=-f(1+x)$ 를 만족시킨다. 두 곡선 $y=f(x)$ 와 $y=-6x^2$ 으로 둘러싸인 부분의 넓이를 $S$ 라 할 때, $4S$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $2$

양수 $a$ 에 대하여 최고차항의 계수가 $1$ 인 삼차함수 $f(x)$ 와 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $g(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 모든 실수 $x$ 에 대하여 $$|x(x-2)|g(x)=x(x-2) \left ( |f(x)|-a \right )$$ $\quad$이다. (나) 함수 $g(x)$ 는 $x=0$ 과 $x=2$ 에서 미분가능하다. $g(3a)$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $108$

수직선 위를 움직이는 점 $\rm P$ 의 시각 $t\;(t>0)$ 에서의 속도 $v(t)$ 가 $$v(t)=-4t^3+12t^2$$ 이다. 시각 $t=k$ 에서 점 $\rm P$ 의 가속도가 $12$ 일 때, 시각 $t=3k$ 에서 $t=4k$ 까이 점 $\rm P$ 가 움직인 거리는? (단, $k$ 는 상수이다.) ① $23$ ② $25$ ③ $27$ ④ $29$ ⑤ $31$ 더보기 정답 ③

다항함수 $f(x)$ 가 모든 실수 $x$ 에 대하여 $$xf(x)=2x^3 +ax^2 +3a + \displaystyle \int_1^x f(t)dt$$ 를 만족시킨다. $f(1)=\displaystyle \int_0^1 f(t) dt $ 일 때, $a+f(3)$ 의 값은? (단, $a$ 는 상수이다.) ① $5$ ② $6$ ③ $7$ ④ $8$ ⑤ $9$ 더보기 정답 ④

최고차항의 계수가 $1$ 이고 $f'(0)=f'(2)=0$ 인 삼차함수 $f(x)$ 와 양수 $p$ 에 대하여 함수 $g(x)$ 를 $$g(x) = \begin{cases} f(x)-f(0) & (x \le 0) \\ f(x+p)-f(p) & (x>0) \end{cases}$$ 이라 하자. 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ㄱ. $p=1$ 일 때, $g'(1)=0$ 이다. ㄴ. $g(x)$ 가 실수 전체의 집합에서 미분가능하도록 하는 양수 $p$ 의 개수는 $1$ 이다. ㄷ. $p \ge 2$ 일 때, $\displaystyle \int_{-1}^1 g(x) dx \ge 0$ 이다. ① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 더보기 정답 ⑤