수악중독

$a>2$인 상수 $a$에 대하여 함수 $f(x)$를 $$f(x)=\begin{cases}x^2-4x+3 & (x \le 2) \\ -x^2 +ax & (x>2)\end{cases}$$라 하자. 최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수 $g(x)$에 대하여 실수 전체의 집합에서 연속인 함수 $h(x)$가 다음 조건을 만족시킬 때, $h(1)+h(3)$의 값은? (가) $x \ne 1, \; x \ne a$일 때, $h(x)=\dfrac{g(x)}{f(x)}$이다. (나) $h(1)=h(a)$ ① $-\dfrac{15}{6}$ ② $-\dfrac{7}{3}$ ③ $-\dfrac{13}{6}$ ④ $-2$ ⑤ $-\dfrac{11}{6}$ 더보기 정답 ③

두 함수 $$f(x)=x^3-kx+6, \quad g(x)=2x^2-2$$에 대하여 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ㄱ. $k=0$일 때, 방정식 $f(x)+g(x)=0$은 오직 하나의 실근을 갖는다. ㄴ. 방정식 $f(x)-g(x)=0$의 서로 다른 실근의 개수가 $2$가 되도록 하는 실수 $k$의 값은 $4$뿐이다. ㄷ. 방정식 $|f(x)|=g(x)$의 서로 다른 실근의 개수가 $5$가 되도록 하는 실수 $k$가 존재한다. ① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 더보기 정답 ②

실수 전체의 집합에서 연속인 함수 $f(x)$와 최고차항의 계수가 $1$이고 상수항이 $0$인 삼차함수 $g(x)$가 있다. 양의 상수 $a$에 대하여 두 함수 $f(x), \; g(x)$가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 모든 실수 $x$에 대하여 $x|g(x)|=\displaystyle \int_{2a}^x (a-t)f(t)dt$이다. (나) 방정식 $g(f(x))=0$의 서로 다른 실근의 개수는 $4$이다. $\displaystyle \int_{-2a}^{2a}f(x)dx$의 값을 구하시오. 더보기 정답 $4$

두 다항함수 $f(x), \; g(x)$ 가 $$\lim \limits_{x \to 1} \dfrac{f(x)-a+2}{x-1}=4, \quad \lim \limits_{x \to 1} \dfrac{g(x)+a-2}{x-1}=a$$ 를 만족시킨다. 함수 $f(x)g(x)$ 의 $x=1$ 에서의 미분계수가 $-1$ 일 때, 상수 $a$ 의 값은? ① $1$ ② $2$ ③ $3$ ④ $4$ ⑤ $5$ 더보기 정답 ③

그림과 같이 실수 $t \; (0

삼차함수 $f(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $\lim \limits_{x \to 1} \dfrac{f(x)}{x-1}=3$ (나) $1$ 이 아닌 상수 $\alpha$ 에 대하여 $\lim \limits_{x \to 2} \dfrac{f(x)}{(x-2)f'(x)}=\alpha$ 이다. $\alpha \times f(4)$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $18$

두 자연수 $a, \; b$ 에 대하여 함수 $f(x)=x^2 -2ax + b$ 라 할 때, 함수 $g(x)$ 를 $$g(x)= \begin{cases} f(x+a) & (x \le a) \\ |f(x)| & (x>a) \end{cases} $$ 라 하자. 실수 $t$ 에 대하여 직선 $y=t$ 와 함수 $y=g(x)$ 의 그래프가 만나는 서로 다른 점의 개수를 $h(t)$ 라 할 때, 함수 $h(t)$ 는 다음 조건을 만족시킨다. $k \ge 24$ 인 임의의 실수 $k$ 에 대해서만 함수 $\{h(t)-2\}h(t-k)$ 가 실수 전체의 집합에서 연속이다. $10a+b$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $44$

삼차함수 $f(x)$ 에 대하여 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $(0, \; 0)$ 에서의 접선과 곡선 $y=xf(x)$ 위의 점 $(1, \; 2)$ 에서의 접선이 일치할 때, $f'(2)$ 의 값은? ① $-18$ ② $-17$ ③ $-16$ ④ $-15$ ⑤ $-14$ 더보기 정답 ⑤

실수 전체의 집합에서 연속인 함수 $f(x)$ 가 모든 실수 $x$ 에 대하여 $$\{f(x)\}^3 - \{f(x)\}^2 -x^2f(x)+x^2=0$$ 을 만족시킨다. 함수 $f(x)$ 의 최댓값이 $1$ 이고 최솟값이 $0$ 일 때, $f \left (- \dfrac{4}{3} \right ) + f(0) + f \left (\dfrac{1}{2} \right )$ 의 값은? ① $\dfrac{1}{2}$ ② $1$ ③ $\dfrac{3}{2}$ ④ $2$ ⑤ $\dfrac{5}{2}$ 더보기 정답 ③

수직선 위를 움직이는 점 $\rm P$ 의 시각 $t$ 에서의 위치 $x(t)$ 가 두 상수 $a, \; b$ 에 대하여 $$x(t)=t(t-1)(at+b) \quad (a \ne 0)$$ 이다. 점 $\rm P$ 의 시각 $t$ 에서의 속도 $v(t)$ 가 $\displaystyle \int_0^1 |v(t)| dt = 2$ 를 만족시킬 때, 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ㄱ. $\displaystyle \int_0^1 v(t)dt = 0$ ㄴ. $|x(t_1)|>1$ 인 $t_1$ 이 열린구간 $(0, \; 1)$ 에 존재한다. ㄷ. $0 \le t \le 1$ 인 모든 $t$ 에 대하여 $|x(t)|