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목록수학1- 문제풀이 (728)
수악중독
닫힌구간 $[0, \; 2\pi]$ 에서 정의된 함수 $f(x)$ 는 $$f(x)=\begin{cases} \sin x & \left (0 \le x \le \dfrac{k}{6}\pi \right ) \\[10pt] 2 \sin \left (\dfrac{k}{6}\pi \right ) - \sin x & \left ( \dfrac{k}{6}\pi < x \le 2\pi \right ) \end{cases}$$ 이다. 곡선 $y=f(x)$ 와 직선 $y=\sin \left (\dfrac{k}{6}\pi \right )$ 의 교점의 개수를 $a_k$ 라 할 때, $a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5$ 의 값은? ① $6$ ② $7$ ③ $8$ ④ $9$ ⑤ $10$ 더보기 정답 ④
모든 자연수 $n$ 에 대하여 직선 $l : x-2y + \sqrt{5}=0$ 위의 점 ${\rm P}_n$ 과 $x$ 축 위의 점 ${\rm Q}_n$ 이 다음 조건을 만족시킨다. (가) 직선 ${\rm P}_n {\rm Q}_n$ 과 직선 $l$ 이 서로 수직이다. (나) $\overline{{\rm P}_n{\rm Q}_n} = \overline{{\rm P}_n{\rm P}_{n+1}}$ 이고 점 ${\rm P}_{n+1}$ 의 $x$ 좌표는 점 ${\rm P}_n$ 의 $x$ 좌표보다 크다. 다음은 점 $\rm P_1$ 이 원 $x^2 + y^2 = 1$ 과 직선 $l$ 의 접점일 때, $2$ 이상의 모든 자연수 $n$ 에 대하여 삼각형 ${\rm OQ}_n{\rm P}_n$ 의 넓이를 구하는 ..
두 양수 $a, \; b$ 에 대하여 곡선 $y=a \sin b \pi x \; \left ( 0 \le x \le \dfrac{3}{b} \right )$ 이 직선 $y=a$ 와 만나는 서로 다른 두 점을 $\rm A, \; B$ 라 하자. 삼각형 $\rm OAB$ 이 넓이가 $5$ 이고 직선 $\rm OA$ 의 기울기와 직선 $\rm OB$ 의 기울기의 곱이 $\dfrac{5}{4}$ 일 때, $a+b$ 의 값은? (단, $\rm O$ 는 원점이다.) ① $1$ ② $2$ ③ $3$ ④ $4$ ⑤ $5$ 더보기 정답 ③
반지름의 길이가 $2\sqrt{7}$ 인 원에 내접하고 $\angle \rm A = \dfrac{\pi}{3}$ 인 삼각형 $\rm ABC$ 가 있다. 점 $\rm A$ 를 포함하지 않는 호 $\rm BC$ 위의 점 $\rm D$ 에 대하여 $\sin ( \angle \rm BCD ) = \dfrac{2\sqrt{7}}{7}$ 일 때, $\overline{\rm BD} + \overline{\rm CD}$ 의 값은? ① $\dfrac{19}{2}$ ② $10$ ③ $\dfrac{21}{2}$ ④ $11$ ⑤ $\dfrac{23}{2}$ 더보기 정답 ② 다른풀이) 미적분에서 배우는 삼각함수의 덧셈정리를 사용한 풀이입니다.
첫째항이 $-45$ 이고 공차가 $d$ 인 등차수열 $\{a_n\}$ 이 다음 조건을 만족시키도록 하는 모든 자연수 $d$ 의 값의 합은? (가) $|a_m| = |a_{m+3}|$ 인 자연수 $m$ 이 존재한다. (나) 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $\sum \limits_{k=1}^n a_k > -100$ 이다. ① $44$ ② $48$ ③ $52$ ④ $56$ ⑤ $60$ 더보기 정답 ②
수열 $\{a_n\}$ 은 $|a_1 | \le 1$ 이고, 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $$a_{n+1} = \begin{cases} -2a_n-2 & \left (-1 \le a_n 0$ 이 되도록 하는 모든 $a_1$ 의 값의 합은? ① $\dfrac{9}{2}$ ② $5$ ③ $\dfrac{1..
$a>1$ 인 실수 $a$ 에 대하여 직선 $y=-x+4$ 가 두 곡선 $$y=a^{x-1}, \quad y=\log_a (x-1)$$ 과 만나는 점을 각각 $\rm A, \; B$ 라 하고, 곡선 $y=a^{x-1}$ 이 $y$ 축과 만나는 점을 $\rm C$ 라 하자. $\overline{\rm AB} = 2\sqrt{2}$ 일 때, 삼각형 $\rm ABC$ 의 넓이는 $S$ 이다. $50 \times S$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $192$
$0 \le x \le 5$ 에서 함수 $$f(x)= \log_3 \left ( x^2-6x+k \right ) \; (k>9)$$ 의 최댓값과 최솟값의 합이 $2+ \log_3 4$ 가 되도록 하는 상수 $k$ 의 값은? ① $11$ ② $12$ ③ $13$ ④ $14$ ⑤ $15$ 더보기 정답 ②
$2$ 이상의 자연수 $n$ 에 대하여 $(2n-5)(2n-9)$ 의 $n$ 제곱근 중 실수인 것의 개수를 $f(n)$ 이라 하자. $\sum \limits_{n=2}^8 f(n)$ 의 값은? ① $5$ ② $7$ ③ $9$ ④ $11$ ⑤ $13$ 더보기 정답 ③
수열 $\{a_n\}$ 을 $a_n = \sum \limits_{k=1}^n \dfrac{1}{k}$ 이라 할 때, 다음은 모든 자연수 $n$ 에 대하여 등식 $$a_1 +2a_2 +3a_3 + \cdots + n a_n = \dfrac{n(n+1)}{4}(2a_{n+1}-1) \quad \cdots (\bigstar)$$ 이 성립합을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다. (i) $n=1$ 일 때, $$\text{(좌변)}=a_1, \quad \text{(우변)}=a_2 - \boxed{ (가) }=1=a_1$$ $\quad$이므로 $(\bigstar)$ 가 성립한다. (ii) $n=m$ 일 때, $(\bigstar)$ 가 성립한다고 가정하면 $$a_1 +2a_2 + 3a_3 + \cdots + ma_m =..