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수학적 귀납법_난이도 중 (2021년 9월 전국연합 고2 16번) 본문

수학1- 문제풀이/수열

수학적 귀납법_난이도 중 (2021년 9월 전국연합 고2 16번)

수악중독 2021. 9. 1. 03:00

수열 {an}\{a_n\}an=k=1n1ka_n = \sum \limits_{k=1}^n \dfrac{1}{k} 이라 할 때, 다음은 모든 자연수 nn 에 대하여 등식 a1+2a2+3a3++nan=n(n+1)4(2an+11)()a_1 +2a_2 +3a_3 + \cdots + n a_n = \dfrac{n(n+1)}{4}(2a_{n+1}-1) \quad \cdots (\bigstar) 이 성립합을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다.

 

(i) n=1n=1 일 때, 

     (좌변)=a1,(우변)=a2()=1=a1\text{(좌변)}=a_1, \quad \text{(우변)}=a_2 - \boxed{ (가) }=1=a_1 \quad이므로 ()(\bigstar) 가 성립한다.

(ii) n=mn=m 일 때, ()(\bigstar) 가 성립한다고 가정하면 a1+2a2+3a3++mam=m(m+1)4(2am+11)a_1 +2a_2 + 3a_3 + \cdots + ma_m = \dfrac{m(m+1)}{4}(2a_{m+1}-1) 이다.

n=m+1\quad n=m+1 일 때, ()(\bigstar) 이 성립함을 보이자. a1+2a2+3a3++mam+(m+1)am+1=m(m+1)4(2am+11)+(m+1)am+1=(m+1)am+1(()+1)m(m+1)4=(m+1)(m+2)2(am+2())m(m+1)4=(m+1)(m+2)4(2am+21) \begin{aligned} a_1 &+ 2a_2 + 3a_3 + \cdots + ma_m+(m+1)a_{m+1} \\ &= \dfrac{m(m+1)}{4}(2a_{m+1}-1)+(m+1)a_{m+1} \\ &= (m+1)a_{m+1} \left ( \boxed{ (나) } + 1 \right ) - \dfrac{m(m+1)}{4} \\ &= \dfrac{(m+1)(m+2)}{2} \left ( a_{m+2} - \boxed{ (다) } \right ) - \dfrac{m(m+1)}{4} \\ &= \dfrac{(m+1)(m+2)}{4} (2a_{m+2}-1) \end{aligned}

\quad 따라서 n=m+1n=m+1 일 때도 ()(\bigstar) 가 성립한다.

(i), (ii)에 의하여 모든 자연수 nn 에 대하여 a1+2a2+3a3++nan=n(n+1)4(2an+11)a_1 +2a_2 + 3a_3 + \cdots + na_n = \dfrac{n(n+1)}{4}(2a_{n+1}-1) 이 성립한다. 

 

위의 (가)에 알맞은 수를 pp, (나), (다)에 알맞은 식을 각각 f(m),  g(m)f(m), \; g(m) 이라 할 때, p+f(5)g(3)p+\dfrac{f(5)}{g(3)} 의 값은?

 

99          ② 1010          ③ 1111          ④ 1212          ⑤ 1313

 

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정답 ⑤

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