등비수열의 일반항&등비수열의 합_난이도 중 (2021년 10월 전국연합 고3 14번)

모든 자연수 $n$ 에 대하여 직선 $l :  x-2y + \sqrt{5}=0$ 위의 점 ${\rm P}_n$ 과 $x$ 축 위의 점 ${\rm Q}_n$ 이 다음 조건을 만족시킨다.

 

(가) 직선 ${\rm P}_n {\rm Q}_n$ 과 직선 $l$ 이 서로 수직이다.

(나) $\overline{{\rm P}_n{\rm Q}_n} = \overline{{\rm P}_n{\rm P}_{n+1}}$ 이고 점 ${\rm P}_{n+1}$ 의 $x$ 좌표는 점 ${\rm P}_n$ 의 $x$ 좌표보다 크다.

 

다음은 점 $\rm P_1$ 이 원 $x^2 + y^2 = 1$ 과 직선 $l$ 의 접점일 때, $2$ 이상의 모든 자연수 $n$ 에 대하여 삼각형 ${\rm OQ}_n{\rm P}_n$ 의 넓이를 구하는 과정이다. (단, $\rm O$ 는 원점이다.)

 

자연수 $n$ 에 대하여 점 ${\rm Q}_n$ 을 지나고 직선 $l$ 과 평행한 직선이 선분 ${\rm P}_{n+1}{\rm Q}_{n+1}$ 과 만나는 점을 ${\rm R}_{n+1}$ 이라 하면 삼각형 ${\rm P}_n{\rm Q}_n{\rm R}_{n+1}{\rm P}_{n+1}$ 은 정사각형이다.

직선 $l$ 의 기울기가 $\dfrac{1}{2}$ 이므로 $$\overline{{\rm R}_{n+1}{\rm Q}_{n+1}} = \boxed{\text{ (가) }} \times \overline{{\rm P}_n{\rm P}_{n+1}}$$ 이고 $$\overline{{\rm P}_{n+1}{\rm Q}_{n+1}} = \left ( 1+ \boxed{\text{ (가) }} \right ) \times \overline{{\rm P}_n{\rm Q}_n}$$ 이다. 이때, $\overline{\rm P_1 Q_1}=1$ 이므로 $\overline{{\rm P}_n {\rm Q}_n}=\boxed{\text{ (나) }}$ 이다.

그러므로 $2$ 이상의 자연수 $n$ 에 대하여 $$\overline{{\rm P}_2{\rm P}_n} = \sum \limits_{k=1}^{n-1} \overline{{\rm P}_k{\rm P}_{k+1}} = \boxed{\text{ (다) }}$$ 이다. 따라서 $2$ 이상의 장녀수 $n$ 에 대하여 삼각형 ${\rm OQ}_n{\rm P}_n$ 의 넓이는 $$\dfrac{1}{2} \times \overline{{\rm P}_n{\rm Q}_n} \times \overline{{\rm P}_1{\rm P}_n} = \dfrac{1}{2} \times \boxed{\text{ (나) }} \times  \left ( \boxed{\text{ (다) }} \right )$$ 이다.

 

위의 (가)에 알맞은 수를 $p$, (나)와 (다)에 알맞은 식을 각각 $f(n), \; g(n)$ 이라 할 때, $f(6p)+g(8p)$ 의 값은?

 

① $3$          ② $4$          ③ $5$          ④ $6$          ⑤ $7$

 

정답 ⑤