수악중독

수열 $\{a_n\}$ 이 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $$a_{n+1} = \begin{cases} a_n +n & (a_n

함수 $f(x)=1+2\sqrt{3} \sin \left ( \dfrac{2}{3} \pi x \right )$ 와 자연수 $n$ 에 대하여 $S(n)=\sum \limits_{k=1}^n kf(k)$ 라 할 때, $$S(n) > S(n+1)$$ 을 만족시키는 $20$ 이하의 자연수 $n$ 의 최댓값을 $m$ 이라 하자. $S(m)$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $229$

그림과 같이 삼각형 $\rm ABC$ 에 대하여 선분 $\rm AB$ 의 중점을 $\rm D$, 선분 $\rm BC$ 를 $2:1$ 로 내분하는 점을 $\rm E$ 라 할 때, 두 삼각형 $\rm ABC$, $\rm DBE$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $\overline{\rm BE}= \overline{\rm DE}$ (나) 두 삼각형 $\rm ABC, \; DBE$ 의 외접원의 넓이의 비는 $85:36$ 이다. $\cos^2 (\angle {\rm BAC} )= \dfrac{q}{p}$ 일 때, $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.) 더보기 정답 $73$

두 함수 $f(x)$ 와 $g(x)$ 가 $$\begin{aligned} f(x) &= \begin{cases} \cos x & (\cos x \ge \sin x) \\ \sin x & (\cos x 0 \; \text{인 상수}) \end{aligned}$$ 이다. 닫힌구간 $\left [ 0, \; \dfrac{\pi}{4} \right ]$ 에서 두 곡선 $y=f(x)$ 와 $y=g(x)$ 의 교점의 개수가 $3$ 이 되도록 하는 $a$ 의 최솟값을 $p$ 라 하자. 닫힌구간 $\left [ 0, \; \dfrac{11}{12}\pi \right ]$ 에서 두 곡선 $y=f(x)$ 와 $y=\cos px..

$a>1$인 실수 $a$에 대하여 좌표평면에서 두 곡선 $$y=a^x, \; \; y= \left | a^{-x-1}-1 \right |$$ 이 있다. 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ㄱ. 곡선 $y= \left | a^{-x-1}-1 \right |$ 은 점 $(-1, \; 0)$을 지난다. ㄴ. $a=4$ 이면 두 곡선의 교점의 개수는 $2$ 이다. ㄷ. $a>4$ 이면 두 곡선의 모든 교점의 $x$ 좌표의 합은 $-2$ 보다 크다. ① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 더보기 정답 ②

$2$ 이상의 두 자연수 $a, n$ 에 대하여 $\left ( \sqrt[n]{a} \right )^3$ 이 값이 자연수가 되도록 하는 $n$ 의 최댓값을 $f(a)$ 라 하자. $f(4)+f(27)$ 의 값은? ① $13$ ② $14$ ③ $15$ ④ $16$ ⑤ $17$ 더보기 정답 ③

$0\le x

$a>1$ 인 실수 $a$ 에 대하여 두 함수 $$f(x)=\dfrac{1}{2}\log_a(x-1)-2, \;\; g(x)=\log_{\frac{1}{a}}(x-2)+1$$ 이 있다. 직선 $y=-2$ 와 함수 $y=f(x)$ 의 그래프가 만나는 점을 $\rm A$ 라 하고, 직선 $x=10$ 과 두 함수 $y=f(x), y=g(x)$ 의 그래프가 만나는 점을 각각 $\rm B, C$ 라 하자. 삼각형 $\rm ACB$의 넓이가 $28$ 일 때, $a^{10}$ 의 값은? ① $15$ ② $18$ ③ $21$ ④ $24$ ⑤ $27$ 더보기 정답 ④

첫째항이 $1$ 인 수열 $\{a_n\}$ 의 첫째항부터 제$n$항까지의 합을 $S_n$ 이라 하자. 다음은 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $$(n+1) S_{n+1} = \log_2 (n+2) + \sum \limits_{k=1}^n S_k \cdots (*)$$ 가 성립할 때, $\sum \limits_{k=1}^n ka_k$ 를 구하는 과정이다. 주어진 식 $(*)$ 에 의하여 $nS_n = \log_2 (n+1)+\sum \limits_{k=1}^{n-1}S_k \; (n\ge 2) \cdots \text{㉠}$ 이다. $(*)$ 에서 ㉠을 빼서 정리하면 $(n+1)S_{n+1}-nS_n \\ ~~~ = \log_2(n+2) - \log_2(n+1) + \sum \limits_{k=1}^n S_k..

그림과 같이 선분 $\rm AB$ 를 지름으로 하는 원 위의 점 $\rm C$ 에 대하여 $$\overline{\rm BC} = 12\sqrt{2}, \; \cos \left ( \angle {\rm CAB} \right ) = \dfrac{1}{3}$$ 이다. 선분 $\rm AB$ 를 $5:4$ 로 내분하는 점을 $\rm D$ 라 할 때, 삼각형 $\rm CAD$ 의 외접원의 넓이는 $S$ 이다. $\dfrac{S}{\pi}$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $27$