수악중독

두 자연수 $a, \; b$ 에 대하여 세 함수 $$f(x)=\cos \pi x, \;\; g(x) = \sin \pi x, \;\; h(x) =ax+b$$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $0 \le x \le 4$ 일 때, 방정식 $(f \circ h)(x)=(h \circ g) \left ( \dfrac{3}{2} \right )$ 의 서로 다른 실근의 개수는 홀수이다. (나) $0 \le x \le 4$ 일 때, 방정식 $(f \circ h)(x)=(h \circ g)(t)$ 의 서로 다른 모든 실근의 합이 $56$ 이 되도록 하는 실수 $t$ 가 존재한다. $\dfrac{a \times b}{\cos ^2 \pi t}$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $686$

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$4$ 이상의 자연수 $n$ 에 대하여 다음 조건을 만족시키는 $n$ 이하의 네 자연수 $a, \; b, \; c, \; d$ 가 있다. (가) $a>b$ (나) 좌표평면 위의 두 점 ${\rm A}(a, \; b), \; {\rm B}(c, \; d)$ 와 원점 $\rm O$ 에 대하여 삼각형 $\rm OAB$ 는 $\angle {\rm A} = \dfrac{\pi}{2}$ 인 직각이등변삼각형이다. 다음은 $a, \; b, \; c, \; d$ 의 모든 순서쌍 $(a, \; b, \; c, \; d)$ 의 개수를 $T_n$ 이라 할 때, $\sum \limits_{n=4}^{20} T_n$ 의 값을 구하는 과정이다. 점 ${\rm A}(a, \; b)$ 에 대하여 점 ${\rm B}(c, \; d)$ ..

그림과 같이 $1$ 보다 큰 실수 $k$ 에 대하여 두 곡선 $y=\log_2 |kx|$ 와 $y=\log_2(x+4)$ 가 만나는 서로 다른 두 점을 $\rm A, \; B$ 라 하고, 점 $\rm B$ 를 지나는 곡선 $y=\log_2(-x+m)$ 이 곡선 $y=\log_2|kx|$ 와 만나는 점 중 $\rm B$ 가 아닌 점을 $\rm C$ 라 하자. 세 점 $\rm A, \; B, \; C$ 의 $x$ 좌표를 각각 $x_1, \; x_2, \; x_3$ 이라 할 때, 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, $x_1 < x_2$ 이고, $m$ 은 실수이다.) ㄱ. $x_2 = -2x_1$ 이면 $k=3$ 이다. ㄴ. $x_2^2 = x_1x_3$ ㄷ. 직선 $\rm AB$ 의 기울기와 직선..

$\overline{\rm AB} : \overline{\rm BC} : \overline{\rm CA} = 1:2:\sqrt{2}$ 인 삼각형 $\rm ABC$ 가 있다. 삼각형 $\rm ABC$ 의 외접원의 넓이가 $28\pi$ 일 때, 선분 $\rm CA$ 의 길이를 구하시오. 더보기 정답 $7$

첫째항이 자연수인 수열 ${a_n}$ 이 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $$a_{n+1} = \begin{cases}a_n -2 & (a_n \ge 0) \\ a_n+5 & (a_n

자연수 $n$ 에 대하여 점 ${\rm A}_n \left (n, \; n^2 \right )$ 을 지나고 직선 $y=nx$ 에 수직인 직선이 $x$ 축과 만나는 점을 ${\rm B}_n$ 이라 하자. 다음은 삼각형 ${\rm A}_n{\rm OB}_n$ 의 넓이를 $S_n$ 이라 할 때, $\sum \limits_{n=1}^8 \dfrac{S_n}{n^3}$ 의 값을 구하는 과정이다. (단, $\rm O$ 는 원점이다.) 점 ${\rm A}_n \left (n, \; n^2 \right )$ 을 지나고 $y=nx$ 에 수직인 직선의 방정식은 $$y= \boxed{\; (가) \; } \times x +n^2+1$$ 이므로 두 점 ${\rm A}_n, \; {\rm B}_n$ 의 좌표를 이용하여 $S_n..

그림과 같이 두 점 $\rm O, \; O'$ 를 각각 중심으로 하고 반지름의 길이가 $3$ 인 두 원$O, \; O'$ 이 한 평면 위에 있다. 두 원 $\rm O, \; O'$ 이 만나는 점을 각각 $\rm A, \; B$ 라 할 때, $\angle {\rm AOB} = \dfrac{5}{6} \pi$ 이다. 원 $O$ 의 외부와 원 $O'$의 내부의 공통부분의 넓이를 $S_1$, 마름모 $\rm AOBO'$ 의 넓이를 $S_2$ 라 할 때, $S_1 - S_2$ 의 값은? ① $\dfrac{5}{4}\pi$ ② $\dfrac{4}{3}\pi$ ③ $\dfrac{17}{12}\pi$ ④ $\dfrac{3}{2}\pi$ ⑤ $\dfrac{19}{12}\pi$ 더보기 정답 ④

함수 $$ f(x) = \begin{cases} 2^x & (x

그림과 같이 $\overline{\rm AB}=5, \; \overline{\rm BC}=4, \; \cos (\angle {\rm ABC})=\dfrac{1}{8}$ 인 삼각형 $\rm ABC$ 가 있다. $\angle {\rm ABC}$ 의 이등분선과 $\angle {\rm CAB}$ 의 이등분선이 만나는 점을 $\rm D$, 선분 $\rm BD$ 의 연장선과 삼각형 $\rm ABC$ 의 외접원이 만나는 점을 $\rm E$ 라 할 때, 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ㄱ. $\overline{\rm AC}=6$ ㄴ. $\overline{\rm EA}=\overline{\rm EC}$ ㄷ. $\overline{\rm ED}=\dfrac{31}{8}$ ① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ..