수악중독

함수 $f(x)=\dfrac{1}{3}x^3-x^2+\ln \left (1+x^2 \right ) +a$ ($a$ 는 상수)와 두 양수 $b, \; c$ 에 대하여 함수 $$g(x)=\begin{cases} f(x) & (x \ge b) \\ -f(x-c) & (x 더보기정답 $55$

함수 $y=\dfrac{\sqrt{x}}{10}$ 의 그래프와 함수 $y=\tan x$ 의 그래프가 만나는 모든 점의 $x$ 좌표를 작은 수부터 크기순으로 나열할 때, $n$ 번째 수를 $a_n$ 이라 하자. $$ \dfrac{1}{\pi ^2} \times \lim \limits_{n \to \infty}a_n ^3 \tan ^2 (a_{n+1}-a_n)$$ 의 값을 구하시오. 더보기정답 $25$

수열 $\{a_n\}$ 은 공비가 $0$ 이 아닌 등비수열이고, 수열 $\{b_n\}$ 을 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $$b_n = \begin{cases} a_n & \left ( \left |a_n \right |  (가) $\sum \limits_{n=1}^\infty a_n = 4$(나) $\sum \limits_{n=1}^m \dfrac{a_n}{b_n}$ 의 값이 최소가 되도록 하는 자연수 $m$ 은 $p$ 이고, $\sum \limits_{n=1}^p b_n = 51$, $\sum \limits_{n=p+1}^\infty b_n =\dfrac{1}{64}$ 이다. $32 \times (a_3 + p)$ 의 값을 구하시오. 더보기정답 $138$

그림과 같이 길이가 $3$ 인 선분 $\mathrm{AB}$ 를 삼등분하는 점 중 $\mathrm{A}$ 와 가까운 점을 $\mathrm{C}$, $\mathrm{B}$ 와 가까운 점을 $\mathrm{D}$ 라 하고, 선분 $\mathrm{BC}$ 를 지름으로 하는 원을 $O$ 라 하자. 원 $O$ 위의 점 $\mathrm{P}$ 를 $\angle \mathrm{BAP}=\theta \; \left (0  더보기정답 $40$

함수 $f(x)=x^3+x+1$ 의 역함수를 $g(x)$ 라 하자. 매개변수 $t$ 로 나타내어진 곡선 $$x=g(t)+t, \quad y=g(t)-t$$ 에서 $t=3$ 일 때, $\dfrac{dy}{dx}$ 의 값은? ① $-\dfrac{1}{5}$          ② $-\dfrac{3}{10}$          ③ $-\dfrac{2}{5}$          ④ $-\dfrac{1}{2}$          ⑤ $-\dfrac{3}{5}$ 더보기정답 ⑤

열린구간 $(0, \; \infty)$ 에서 정의된 함수 $$f(x)=\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{x^{n+1}+\left (\dfrac{4}{x} \right )^n}{x^n+\left ( \dfrac{4}{x} \right )^{n+1}}$$ 이 있다. $x>0$ 일 때, 방정식 $f(x)=2x-3$ 의 모든 실근의 합은? ① $\dfrac{41}{7}$          ② $\dfrac{43}{7}$          ③ $\dfrac{45}{7}$          ④ $\dfrac{47}{7}$          ⑤ $7$ 더보기정답 ④

곡선 $y=e^{2x}-1$ 위의 점 $\mathrm{P}\left (t, \; e^{2t}-1 \right ) \; (t>0)$ 에 대하여 $\overline{\mathrm{PQ}}=\overline{\mathrm{OQ}}$ 를 만족시키는 $x$ 축 위의 점 $\mathrm{Q}$ 의 $x$ 좌표를 $f(t)$ 라 할 때, $\lim \limits_{t \to 0+} \dfrac{f(t)}{t}$ 의 값은? (단, $\mathrm{O}$ 는 원점이다.) ① $1$          ② $\dfrac{3}{2}$          ③ $2$          ④ $\dfrac{5}{2}$          ⑤ $3$  더보기정답 ④

첫째항이 $1$ 이고 공차가 $d \; (d>0)$ 인 등차수열 $\{a_n\}$ 에 대하여 $\sum \limits_{n=1}^\infty \left ( \dfrac{n}{a_n} - \dfrac{n+1}{a_{n+1}} \right )= \dfrac{2}{3}$ 일 때, $d$ 의 값은? ① $1$          ② $2$          ③ $3$          ④ $4$          ⑤ $5$ 더보기정답 ③

두 상수 $a \; (a>0)$, $b$ 에 대하여 두 함수 $f(x), \; g(x)$ 를 $$f(x)=a\sin x -\cos x, \quad g(x)=e^{2x-b}-1$$ 이라 하자. 두 함수 $f(x), \; g(x)$ 가 다음 조건을 만족시킬 때, $\tan b$ 의 값은? (가) $f(k)=g(k)=0$ 을 만족시키는 실수 $k$ 가 열린구간 $\left ( -\dfrac{\pi}{2}, \; \dfrac{\pi}{2} \right )$ 에 존재한다.(나) 열린구간 $\left ( - \dfrac{\pi}{2}, \; \dfrac{\pi}{2} \right )$ 에서 방정식 $\{f(x)g(x)\}'=2f(x)$ 의 모든 해의 합은 $\dfrac{\pi}{4}$ 이다. ① $\dfrac{5}..

함수 $f(x)=\dfrac{1}{3}x^3 -2x^2-5x+1$ 이 닫힌구간 $[a, \; b]$ 에서 감소할 때, $b-a$ 의 최댓값은? (단, $a, \; b$ 는 $a