정적분 형태로 정의된 함수&여러 가지 적분법_난이도 상 (2024년 7월 전국연합 고3 미적분 30번)

 

 

상수 $a \; (0<a<1)$ 에 대하여 함수 $f(x)$ 를 $$f(x)=\displaystyle \int_0^x \ln \left ( e^{|t|}-a \right ) dt$$ 라 하자. 함수 $f(x)$ 와 상수 $k$ 는 다음 조건을 만족시킨다.

 

(가) 함수 $f(x)$ 는 $x=\ln \dfrac{3}{2}$ 에서 극값을 갖는다.

 

(나) $f \left ( - \ln \dfrac{3}{2} \right ) = \dfrac{f(k)}{6}$

 

$\displaystyle \int_0^k \dfrac{|f'(x)|}{f(x)-f(-k)}dx=p$ 일 때, $100 \times a \times e^p$ 의 값을 구하시오.

 

정답 $144$