수악중독

자연수 $n$ 에 대하여 함수 $f(x)$ 를 $$f(x)=\dfrac{4}{n^3} x^3 +1$$ 이라 하자. 원점에서 곡선 $y=f(x)$ 에 그은 접선을 $l_n$, 접선 $l_n$ 의 접점을 $\mathrm{P}_n$ 이라 하자. $x$ 축과 직선 $l_n$ 에 동시에 접하고 점 $\mathrm{P}_n$ 을 지나는 원 중 중심의 $x$ 좌표가 양수인 것을 $C_n$ 이라 하자.원 $C_n$ 의 반지름의 길이를 $r_n$ 이라 할 때, $40 \times \lim \limits_{n \to \infty} n^2 (4r_n-3)$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $270$

매개변수 $t \; (t>0)$ 으로 나타내어진 곡선 $$x= \ln \left (t^3 +1 \right ), \quad y=\sin \pi t$$ 에서 $t=1$ 일 때, $\dfrac{dy}{dx}$ 의 값은? ① $-\dfrac{1}{3}\pi$ ② $-\dfrac{2}{3}\pi$ ③ $-\pi$ ④ $-\dfrac{4}{3}\pi$ ⑤ $-\dfrac{5}{3}\pi$ 더보기 정답 ②

양의 실수 전체의 집합에서 정의되고 미분가능한 두 함수 $f(x), \; g(x)$ 가 있다. $g(x)$ 는 $f(x)$ 의 역함수이고, $g'(x)$ 는 양의 실수 전체의 집합에서 연속이다. 모든 양수 $a$ 에 대하여 $$\displaystyle \int_1^a \dfrac{1}{g'(f(x))f(x)}dx=2 \ln a + \ln (a+1) - \ln 2$$ 이고 $f(1)=8$ 일 때, $f(2)$ 의 값은? ① $36$ ② $40$ ③ $44$ ④ $48$ ⑤ $52$ 더보기 정답 ④

그림과 같이 곡선 $y=\sqrt{(1-2x)\cos x} \; \left (\dfrac{3}{4}\pi \le x \le \dfrac{5}{4}\pi \right )$ 와 $x$ 축 및 두 직선 $x=\dfrac{3}{4}\pi, \; x=\dfrac{5}{4}\pi$ 로 둘러싸인 부분을 밑면으로 하는 입체도형이 있다. 이 입체도형을 $x$ 축에 수직인 평면으로 자른 단면이 모두 정사각형일 때, 이 입체도형의 부피는? ① $\sqrt{2}\pi-\sqrt{2}$ ② $\sqrt{2}\pi-1$ ③ $2\sqrt{2}\pi-\sqrt{2}$ ④ $2\sqrt{2}\pi-1$ ⑤ $2\sqrt{2}\pi$ 더보기 정답 ③

실수 $t$ 에 대하여 원점을 지나고 곡선 $y=\dfrac{1}{e^x}+e^t$ 에 접하는 직선의 기울기를 $f(t)$ 라 하자. $f(a)=-e\sqrt{e}$ 를 만족시키는 상수 $a$ 에 대하여 $f'(a)$ 의 값은? ① $-\dfrac{1}{3}e\sqrt{e}$ ② $-\dfrac{1}{2}e\sqrt{e}$ ③ $-\dfrac{2}{3}e\sqrt{e}$ ④ $-\dfrac{5}{6}e\sqrt{e}$ ⑤ $-e\sqrt{e}$ 더보기 정답 ①

실수 전체의 집합에서 연속인 함수 $f(x)$ 가 모든 실수 $x$ 에 대하여 $f(x) \ge 0$ 이고, $x

첫째항과 공비가 각각 $0$ 이 아닌 두 등비수열 $\{a_n\}, \; \{b_n\}$ 에 대하여 두 급수 $\sum \limits_{n=1}^\infty a_n , \; \sum \limits_{n=1}^\infty b_n$ 이 각각 수렴하고 $$\sum \limits_{n=1}^\infty a_n b_n = \left ( \sum \limits_{n=1}^\infty a_n \right ) \times \left ( \sum \limits_{n=1}^\infty b_n \right ) , \quad 3 \times \sum \limits_{n=1}^\infty |a_{2n}|= 7 \times \sum \limits_{n=1}^\infty |a_{3n} |$$ 이 성립한다. $\sum \limits..

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 $f(x)$ 의 도함수 $f'(x)$ 가 $$f'(x)=| \sin x| \cos x$$ 이다. 양수 $a$ 에 대하여 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $(a, \; f(a))$ 에서의 접선의 방정식을 $y=g(x)$ 라 하자. 함수 $$h(x)=\displaystyle \int_0^x \{f(t)-g(t)\}dt$$ 가 $x=a$ 에서 극대 또는 극소가 되도록 하는 모든 양수 $a$ 를 작은 수부터 크기순으로 나열할 때, $n$ 번째 수를 $a_n$ 이라 하자. $\dfrac{100}{\pi} \times (a_6 - a_2)$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $125$

최고차항의 계수가 $1$ 이고 $f'(2)=0$ 인 이차함수 $f(x)$ 가 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $$\displaystyle \int_4^n f(x)dx \ge 0$$ 을 만족시킬 때, 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ㄱ. $f(2) \int_4^2 f(x)dx$ ㄷ. $6 \le \displaystyle \int_4^6 f(x)dx \le 14$ ① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 더보기 정답 ③

시각 $t=0$ 일 때 동시에 원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 두 점 $\mathrm{P, \; Q}$ 의 시각 $t \; (t \ge 0)$ 에서의 속도가 각각 $$v_1(t)=12t-12, \quad v_2(t)=3t^2+2t-12$$ 이다. 시각 $t=k \; (k>0)$ 에서 두 점 $\mathrm{P, \; Q}$ 의 위치가 같을 때, 시각 $t=0$ 에서 $t=k$ 까지 점 $\mathrm{P}$ 가 움직인 거리를 구하시오. 더보기 정답 $102$