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목록미적분 - 문제풀이 (233)
수악중독
그림과 같이 중심이 $\mathrm{O}$, 반지름의 길이가 $8$ 이고 중심각의 크기가 $\dfrac{\pi}{2}$ 인 부채꼴 $\mathrm{OAB}$ 가 있다. 호 $\mathrm{AB}$ 위의 점 $\mathrm{C}$ 에 대하여 점 $\mathrm{B}$ 에서 선분 $\mathrm{OC}$ 에 내린 수선의 발을 $\mathrm{D}$ 라 하고, 두 선분 $\mathrm{BD}, \; \mathrm{CD}$ 와 호 $\mathrm{BC}$ 에 동시에 접하는 원을 $C$ 라 하자. 점 $\mathrm{O}$ 에서 원 $C$ 에 그은 접선 중 점 $\mathrm{C}$ 를 지나지 않는 직선이 호 $\mathrm{AB}$ 와 만나는 점을 $\mathrm{E}$ 라 할 때, $\cos \left ( \..
$x \ge 0$ 에서 정의된 함수 $f(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $f(x) = \begin{cases} 2^x -1 & (0 \le x \le 1) \\ 4 \times \left (\dfrac{1}{2} \right )^x -1 & (1 \lt x \le 2) \end{cases}$ (나) 모든 양의 실수 $x$ 에 대하여 $f(x+2)=-\dfrac{1}{2}f(x)$ 이다. $x \gt 0$ 에서 정의된 함수 $g(x)$ 를 $$ g(x)=\lim \limits_{h \to 0+} \dfrac{f(x+h)-f(x-h)}{h}$$ 라 할 때, $$\lim \limits_{t \to 0+} \{ g(n+t) - g(n-t)\} + 2g(n)=\dfrac{\ln 2}{2^{24}}$$..
수열 $\{a_n\}$ 이 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $$3^n - 2^n < a_n < 3^n +2^n$$ 을 만족시킬 때, $\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{a_n}{3^{n+1} + 2^n}$ 의 값은? ① $\dfrac{1}{6}$ ② $\dfrac{1}{3}$ ③ $\dfrac{1}{2}$ ④ $\dfrac{2}{3}$ ⑤ $\dfrac{5}{6}$ 더보기 정답 ②
등차수열 $\{a_n\}$ 에 대하여 $$\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{a_{2n}-6n}{a_n+5}=4$$ 일 때, $a_2-a_1$ 의 값은? ① $-1$ ② $-2$ ③ $-3$ ④ $-4$ ⑤ $-5$ 더보기 정답 ③
두 수열 $\{a_n\}, \; \{b_n\}$ 에 대하여 $$\lim \limits_{n \to \infty} \left (n^2 +1 \right ) a_n = 3, \quad \lim \limits_{n \to \infty} \left (4n^2+1 \right ) (a_n + b_n)=1$$ 일 때, $\lim \limits_{n \to \infty} \left (2n^2+1 \right ) (a_n + 2b_n)$ 의 값은? ① $-3$ ② $-\dfrac{7}{2}$ ③ $-4$ ④ $-\dfrac{9}{2}$ ⑤ $-5$ 더보기 정답 ⑤
$a_1=3, \; a_2=-4$ 인 수열 $\{a_n\}$ 과 등차수열 $\{b_n\}$ 이 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $$\sum \limits_{k=1}^n \dfrac{a_k}{b_k}=\dfrac{6}{n+1}$$ 을 만족시킬 때, $\lim \limits_{n \to \infty} a_n b_n$ 의 값은? ① $-54$ ② $-\dfrac{75}{2}$ ③ $-24$ ④ $-\dfrac{27}{2}$ ⑤ $-6$ 더보기 정답 ①
$a>0, \; a\ne 1$ 인 실수 $a$ 와 자연수 $n$ 에 대하여 직선 $y=n$ 이 $y$ 축과 만나는 점을 $\mathrm{A}_n$, 직선 $y=n$ 이 곡선 $y= \log_a (x-1)$ 과 만나는 점을 $\mathrm{B}_n$ 이라 하자. 사각형 $\mathrm{A}_n \mathrm{B}_n \mathrm{B}_{n+1} \mathrm{A}_{n+1}$ 의 넓이를 $S_n$ 이라 할 때, $$\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{\overline{\mathrm{B}_n \mathrm{B}_{n+1}}}{S_n} = \dfrac{3}{2a+2}$$ 을 만족시키는 모든 $a$ 의 값의 합은? ① $2$ ② $\dfrac{9}{4}$ ③ $\dfrac{5}{2}..
자연수 $n$ 에 대하여 $x$ 에 대한 부등식 $x^2-4nx-n
함수 $$f(x)=\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{x^{2n+1}-x}{x^{2n}+1}$$ 에 대하여 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $g(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. $2k-2 \le |x| < 2k$ 일 때, $g(x)=(2k-1) \times f \left (\dfrac{x}{2k-1} \right )$ 이다. (단, $k$ 는 자연수이다.) $0
최고차항의 계수가 $1$ 이고 $f(0)=0$ 인 삼차함수 $f(x)$ 에 대하여 양의 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $g(x)$ 를 $$g(x)=\dfrac{\displaystyle \int_0^x | f'(t) | dt}{x}$$ 라 하자. 함수 $f(x)$ 가 $x=1$ 에서 극대일 때, 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ㄱ. $\lim \limits_{x \to 0+} g(x) >3$ ㄴ. 함수 $f(x)$ 의 극댓값이 $\dfrac{5}{2}$ 보다 크면 $f(1)-g(2)=1$ 이다. ㄷ. 함수 $f(x)$ 의 극솟값이 $0$ 이면 등식 $g(x)=n \times g(3)$ 을 만족시키는 $0