수악중독

삼차함수 $f(x) = ax^3 + bx$ ($a > 0$)가 다음 조건을 만족시킨다. 모든 실수 $x$에 대하여 $\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{2x^{2n+2} + x^n + f(x)}{x^{2n} + x^n + 1}$의 값이 존재한다. 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $g(x)$를  $$g(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{2x^{2n+2} + x^n + f(x)}{x^{2n} + x^n + 1}$$라 하자. 함수 $y = g(x)$의 그래프와 직선 $y = k$가 만나는 점의 개수가 $1$이 되도록 하는 자연수 $k$가 존재할 때, $g\left(-\dfrac{1}{2}\right) \times g(2)$의 값은? (단, $a, b$는 상수이..

그림과 같이 자연수 $n$ ($n \geq 2$)에 대하여 중심이 $\mathrm{C}$이고 반지름의 길이가 $n$인 원 $O$와 $\overline{\mathrm{AB}}=2$를 만족시키는 원 $O$ 위의 두 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$가 있다. $\angle \mathrm{BAC}$를 이등분하는 직선이 원 $O$와 만나는 점 중 $\mathrm{A}$가 아닌 점을 $\mathrm{D}$라 하자. 점 $\mathrm{B}$를 포함하지 않는 호 $\mathrm{AD}$ 위의 점 $\mathrm{E}$에 대하여 $\overline{\mathrm{BD}}:\overline{\mathrm{DE}} = \sqrt{2}:1$일 때, 삼각형 $\mathrm{CDE}$의 넓이를 $S_n$이라 ..

$\displaystyle \int_0^{10} \dfrac{x+2}{x+1} dx$의 값은? ① $10+\ln 5$          ② $10+\ln 7$          ③ $10+2\ln 3$          ④ $10+\ln 11$          ⑤ $10+\ln 13$ 더보기정답 ④

수열 $\{a_n\}$ 에 대하여 $\lim \limits_{n to \infty} \dfrac{na_n}{n^2+3}=1$ 일 때, $\lim \limits_{n \to \infty} \left ( \sqrt{a_n^2+n}-a_n \right )$ 의 값은? ① $\dfrac{1}{3}$          ② $\dfrac{1}{2}$          ③ $1$          ④ $2$          ⑤ $3$ 더보기정답 ②

그림과 같이 곡선 $y=\sqrt{\dfrac{x+1}{x(x+\ln x)}}$ 과 $x$ 축 및 두 직선 $x=1, \; x=e$ 로 둘러싸인 부분을 밑면으로 하는 입체도형이 있다. 이 입체도형을 $x$ 축에 수직인 평면으로 자른 단면이 모두 정사각형일 때, 이 입체도형의 부피는?  ① $\ln(e+1)$          ② $\ln(e+2)$          ③ $\ln(e+3)$          ④ $\ln(2e+1)$          ⑤ $\ln(2e+2)$ 더보기정답 ①

최고차항의 계수가 $1$ 인 삼차함수 $f(x)$ 에 대하여 함수 $g(x)$ 를 $$g(x)=f \left (e^x \right ) +e^x$$ 이라 하자. 곡선 $y=g(x)$ 위의 점 $(0, \; g(0))$ 에서의 접선이 $x$ 축이고 함수 $g(x)$ 가 역함수 $h(x)$ 를 가질 때, $h'(8)$ 의 값은? ① $\dfrac{1}{36}$          ② $\dfrac{1}{18}$          ③ $\dfrac{1}{12}$          ④ $\dfrac{1}{9}$          ⑤ $\dfrac{5}{36}$ 더보기정답 ①

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 $f(x)$ 의 도함수 $f'(x)$ 가 $$f'(x)=-x+e^{1-x^2}$$ 이다. 양수 $t$ 에 대하여 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $(t, \; f(t))$ 에서의 접선과 곡선 $y=f(x)$ 및 $y$ 축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 $g(t)$ 라 하자. $g(1)+g'(1)$ 의 값은? ① $\dfrac{1}{2}e+\dfrac{1}{2}$          ② $\dfrac{1}{2}e+\dfrac{2}{3}$         ③ $\dfrac{1}{2}e+\dfrac{5}{6}$          ④ $\dfrac{2}{3}e+\dfrac{1}{2}$          ⑤ $\dfrac{2}{3}e+\dfrac{2}{3}$ 더보기정답 ②

등비수열 $\{a_n\}$ 이 $$\sum \limits_{n=1}^\infty \left (|a_n|+a_n \right ) = \dfrac{40}{3}, \quad \sum \limits_{n=1}^\infty \left (|a_n | - a_n \right )=\dfrac{20}{3}$$ 을 만족시킨다. 부등식 $$\lim \limits_{n \to \infty} \sum \limits_{k=1}^{2n} \left ((-1)^{\frac{k(k+1)}{2}} \times a_{m+k} \right ) > \dfrac{1}{700}$$ 을 만족시키는 모든 자연수 $m$ 의 값의 합을 구하시오.  더보기정답 $25$

두 상수 $a \; (1 \le a \le 2)$, $b$ 에 대하여 함수 $f(x)=\sin (ax+b+\sin x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다.  (가) $f(0)=0, \; f(2\pi)=2\pi a+b$(나) $f'(0)=f'(t)$ 인 양수 $t$ 의 최솟값은 $4\pi$ 이다. 함수 $f(x)$ 가 $x=\alpha$ 에서 극대인 $\alpha$ 의 값 중 열린구간 $(0, \; 4\pi)$ 에 속하는 모든 값의 집합을 $A$ 라 하자. 집합 $A$ 의 원소의 개수를 $n$, 집합 $A$ 의 원소 중 가장 작은 값을 $\alpha_1$ 이라 하면, $n\alpha_1 - ab=\dfrac{q}{p}\pi$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다...

$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{3}} \cos \left (\dfrac{\pi}{3}-x \right ) dx $ 의 값은? ① $\dfrac{1}{3}$          ② $\dfrac{1}{2}$          ③ $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$          ④ $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$          ⑤ $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ 더보기정답 ⑤