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목록미적분 - 문제풀이 (233)
수악중독
두 상수 $a\; (a>0), \; b$ 에 대하여 실수 전체의 집합에서 연속인 함수 $f(x)$ 가 다음 조건을 만족시킬 때, $a \times b$ 의 값은? (가) 모든 실수 $x$ 에 대하여 $$\{f(x)\}^2+2f(x)=a \cos^3 \pi x \times e^{\sin^2 \pi x}+b$$ 이다. (나) $f(0)=f(2)+1$ ① $-\dfrac{1}{16}$ ② $-\dfrac{7}{64}$ ③ $-\dfrac{5}{32}$ ④ $-\dfrac{13}{64}$ ⑤ $-\dfrac{1}{4}$ 더보기 정답 ②
세 실수 $a, \; b, \; k$ 에 대하여 두 점 $\mathrm{A}(a, \; a+k), \; \mathrm{B}(b, \; b+k)$ 가 곡선 $C:x^2-2xy+2y^2=15$ 위에 있다. 곡선 $C$ 위의 점 $\mathrm{A}$ 에서의 접선과 곡선 $C$ 위의 점 $\mathrm{B}$ 에서의 접선이 서로 수직일 때, $k^2$ 의 값을 구하시오. (단, $a+2k \ne 0, \; b+2k \ne 0$) 더보기 정답 $5$
수열 $\{a_n\}$ 은 등비수열이고, 수열 $\{b_n\}$ 을 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $$b_n = \begin{cases} -1 & (a_n \le -1) \\ a_n & (a_n \gt -1) \end{cases}$$ 이라 할 때, 수열 $\{b_n\}$ 은 다음 조건을 만족시킨다. (가) 급수 $\sum \limits_{n=1}^\infty b_{2n-1}$ 은 수렴하고 그 합은 $-3$ 이다. (나) 급수 $\sum \limits_{n=1}^\infty b_{2n}$ 은 수렴하고 그 합은 $8$ 이다. $b_3=-1$ 일 때, $\sum \limits_{n=1}^\infty |a_n|$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $24$
두 상수 $a, \; b \; (b \ne 1)$ 과 이차함수 $f(x)$ 에 대하여 함수 $g(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 함수 $g(x)$ 는 실수 전체의 집합에서 미분가능하고, 도함수 $g'(x)$ 는 실수 전체의 집합에서 연속이다. (나) $|x| \lt 2$ 일 때, $g(x)=\displaystyle \int_0^x (-t+a) dt$ 이고 $|x| \ge 2$ 일 때, $|g'(x)| = f(x)$ 이다. (다) 함수 $g(x)$ 는 $x=1$, $x=b$ 에서 극값을 갖는다. $g(k)=0$ 을 만족시키는 모든 실수 $k$ 의 값의 합이 $p+q\sqrt{3}$ 일 때, $p \times q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 유리수이다.) 더보기 정답 $32$
함수 $f(x)=e^x (2 \sin x + \cos x)$ 에 대하여 $f'(0)$ 의 값은? ① $3$ ② $4$ ③ $5$ ④ $6$ ⑤ $7$ 더보기 정답 ①
수열 $\{a_n\}$ 에 대하여 급수 $\sum \limits_{n=1}^\infty \left (a_n - \dfrac{2^{n+1}}{2^n+1} \right )$ 이 수렴할 때, $\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{2^n \times a_n + 5 \times 2^{n+1}}{2^n+3}$ 의 값은? ① $6$ ② $8$ ③ $10$ ④ $12$ ⑤ $14$ 더보기 정답 ④
두 함수 $f(x)=a^x, \; g(x)=2 \log_b x$ 에 대하여 $$\lim \limits_{x \to e} \dfrac{f(x)-g(x)}{x-e}=0$$ 일 때, $a \times b$ 의 값은? (단, $a$ 와 $b$ 는 $1$ 보다 큰 상수이다.) ① $e^{\frac{1}{e}}$ ② $e^{\frac{2}{e}}$ ③ $e^{\frac{3}{e}}$ ④ $e^{\frac{4}{e}}$ ⑤ $e^{\frac{5}{e}}$ 더보기 정답 ③
그림과 같이 좌표평면 위에 점 $\mathrm{A}(0, \; 1)$ 을 중심으로 하고 반지름의 길이가 $1$ 인 원 $C$ 가 있다. 원점 $\mathrm{O}$ 를 지나고 $x$ 축의 양의 방향과 이루는 각의 크기가 $\theta$ 인 직선이 원 $C$ 와 만나는 점 중 $\mathrm{O}$ 가 아닌 점을 $\mathrm{P}$ 라 하고, 호 $\mathrm{OP}$ 위에 점 $\mathrm{Q}$ 를 $\angle \mathrm{OPQ}=\dfrac{\theta}{3}$ 가 되도록 잡는다. 삼각형 $\mathrm{POQ}$ 의 넓이를 $f(\theta)$ 라 할 때, $\lim \limits_{\theta \to 0+} \dfrac{f(\theta)}{\theta^3}$ 의 값은? (단, 점 $\..
그림과 같이 $\overline{\mathrm{AB}_1}=2, \; \overline{\mathrm{B_1C_1}}=\sqrt{3}, \; \overline{\mathrm{C_1D_1}}=1$ 이고 $\angle \mathrm{C_1B_1A}=\dfrac{\pi}{2}$ 인 사다리꼴 $\mathrm{AB_1C_1D_1}$ 이 있다. 세 점 $\mathrm{A, \; B_1, \; D_1}$ 을 지나는 원이 선분 $\mathrm{B_1C_1}$ 과 만나는 점 중 $\mathrm{B_1}$ 이 아닌 점을 $\mathrm{E_1}$ 이라 할 때, 두 선분 $\mathrm{C_1D_1, \; C_1E_1}$ 과 호 $\mathrm{E_1D_1}$ 로 둘러싸인 부분과 선분 $\mathrm{B_1E_1}$ 과 호..