수악중독

함수 $f(x)=\dfrac{1+\cos x}{\sin ^2 x} $ 와 함수 $g(x)$ 에 대하여 $\lim \limits_{x \to 0} \dfrac{g(x)}{x^2} = 240$ 일 때, $\lim \limits_{x \to 0} f(2x) g \left ( \dfrac{x}{2} \right )$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $30$

두 함수 $$f(x) = \dfrac{x^2+x+1}{x^2+1}, \; \; g(x) = \dfrac{x^2-x+1}{x^2+1}$$ 이 있다. 양의 실수 $t$ 에 대하여 두 곡선 $y=f(x), \; \; y=g(x)$ 와 직선 $x=t$ 로 둘러싸인 부분의 넓이를 $S(t)$ 라 할 때, 다음 조건을 만족시키는 점 $\rm P$ 의 $x$ 좌표를 $h(t)$ 라 하자. (가) 점 $\rm P$ 는 $x$ 축 위에 있고, $x $ 좌표는 양수이다. (나) 점 $\rm P$ 를 지나고 $x$ 축에 수직인 직선과 곡선 $y=\{f(x)-g(x)\} \ln \left (x^2 +1 \right ) $ 및 $x$ 축으로 둘러싸인 부분의 넓이는 $S(t)$ 이다. 양수 $\alpha $ 가 $h(\alpha..

실수 전체의 집합에서 연속인 두 함수 $f(x)$ 와 $g(x)$ 가 모든 실수 $x$ 에 대하여 다음 조건을 만족시킨다. (가) $f(x) \ge g(x)$ (나) $f(x)+g(x) = x^2 +3x$ (다) $f(x)g(x)= \left (x^2+1 \right ) (3x-1)$ $\displaystyle \int_0^2 f(x) dx$ 의 값은? ① $\dfrac{23}{6}$ ② $\dfrac{13}{3}$ ③ $\dfrac{29}{6}$ ④ $ \dfrac{16}{3}$ ⑤ $\dfrac{35}{6}$ 더보기 정답 ③

함수 $ f(x) = \sin \left ( \pi \sqrt{x} \right )$ 에 대하여 함수 $$g(x)=\displaystyle \int_0^x t f(x-t) dt \;\;\; (x \ge 0)$$ 이 $x=a$ 에서 극대인 모든 $a$ 를 작은 수부터 크기순으로 나열할 때, $n$ 번째 수를 $a_n$ 이라 하자. $k^2

다음 조건을 만족시키는 실수 $a, \; b$ 에 대하여 $ab$ 의 최댓값을 $M$, 최솟값을 $m$ 이라 하자. 모든 실수 $x$ 에 대하여 부등식 $$-e^{-x+1} \le ax+b \le e^{x-2}$$ 이 성립한다. $\left | M \times m^3 \right | = \dfrac{q}{p} $ 일 때, $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.) 정답 $43$

함수 $f(x)=\sin \dfrac{\pi}{2}x$ 와 $0$ 이 아닌 두 실수 $a, \; b$ 에 대하여 함수 $g(x)$ 를 $$g(x) = e^{af(x)} + bf(x) \;\; (0

그림과 같이 $\overline{\rm AB_1}=3, \; \overline{\rm AC_1}=2$ 이고 $\angle \rm B_1 AC_1 = \dfrac{\pi}{3}$ 인 삼각형 $\rm AB_1C_1$ 이 있다. $\angle \rm B_1 A C_1$ 의 이등분선이 선분 $\rm B_1C_1$ 과 만나는 점을 $\rm D_1$, 세 점 $\rm A, \; D_1, \; C_1$ 을 지나는 원이 선분 $\rm AB_1$ 과 만나는 점 중 $\rm A$ 가 아닌 점을 $\rm B_2$ 라 할 때, 두 선분 $\rm B_1 B_2$, $\rm B_1D_1$ 과 호 $\rm B_2 D_1$ 으로 둘러싸인 부분과 선분 $\rm C_1 D_1$ 과 호 $\rm C_1 D_1$ 로 둘러싸인 부분인 모양의..

그림과 같이 $\overline{\rm AB}=1, \; \overline{\rm BC}=2$ 인 두 선분 $\rm AB, \; BC$ 에 대하여 선분 $\rm BC$ 의 중점을 $\rm M$, 점 $\rm M$ 에서 선분 $\rm AB$ 에 내린 수선의 발을 $\rm H$ 라 하자. 중심이 $\rm M$ 이고 반지름의 길이가 $\overline{\rm MH}$ 인 원의 선분 $\rm AM$ 과 만나는 점을 $\rm D$, 선분 $\rm HC$ 가 선분 $\rm DM$ 과 만나는 점을 $\rm E$ 라 하자. $\angle \rm ABC = \theta$ 라 할 때, 삼각형 $\rm CDE$ 의 넓이를 $f(\theta)$, 삼각형 $\rm MEH$ 의 넓이를 $g(\theta)$ 라 하자. $\lim ..

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $f(x)$ 는 $0 \le x

두 양수 $a, \; b\; (b0)\end{cases}$$ 이라 하자. 양수 $m$ 에 대하여 직선 $y=mx$ 와 함수 $y=f(x)$ 의 그래프가 만나는 서로 다른 점의 개수를 $g(m)$ 이라 할 때, 함수 $g(m)$ 은 다음 조건을 만족시킨다. $\lim \limits_{m \to \alpha -}g(m) - \lim \limits_{m \to \alpha +} g(m)=1$ 을 만족시키는 양수 $\alpha$ 가 오직 하나 존재하고, 이 $\alpha$ 에 대하여 점 $(b, \; f(b))$ 는 직선 $y=\alpha x$ 와 곡선 $y=f(x)$ 의 교점이다. $ab^2 = \dfrac{q}{p}$ 일 때, $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이고, ..