수악중독

함수 $f(x)=- \dfrac{kx^3}{x^2+1}~(k>1)$ 에 대하여 곡선 $y=f(x)$ 와 곡선 $y=f^{-1}(x)$ 가 만나는 점의 $x$ 좌표 중 가장 작은 값을 $\alpha$, 가장 큰 값을 $\beta$ 라 하자. 함수 $y=f(x-2\beta)+2\alpha$ 의 역함수 $g(x)$ 에 대하여 $f'(\beta) = 2g'(\alpha)$ 일 때, 상수 $k$ 의 값은? ① $\dfrac{5+2\sqrt{3}}{7}$ ② $\dfrac{6+2\sqrt{2}}{7}$ ③ $\dfrac{4+2\sqrt{2}}{5}$ ④ $\dfrac{5+2\sqrt{2}}{5}$ ⑤ $\dfrac{6+2\sqrt{2}}{5}$ 정답 ②

함수 $$f(x)=\begin{cases} -x-\pi & (x\pi) \end{cases}$$ 가 있다. 실수 $t$ 에 대하여 부등식 $f(x) \le f(t)$ 를 만족시키는 실수 $x$ 의 최솟값을 $g(t)$ 라 하자. 예를 들어, $g(\pi) = -\pi$ 이다. 함수 $g(t)$ 가 $t=\alpha$ 에서 불연속일 때, $$\displaystyle \int_{-\pi}^\alpha g(t) dt = - \dfrac{7}{4} \pi^2 + p \pi + q$$ 이다. $100 \times | p+q |$ 의 값을 구하시오. (단, $p, ~q$ 는 유리수이다.) 정답 $350$

$0$ 이 아닌 세 정수 $l, \; m, \; n$ 이 $$ |~l~|+|~m~|+|~n~| \le 10$$을 만족시킨다. $0 \le x \le \dfrac{3}{2}\pi$ 에서 정의된 연속함수 $f(x)$ 가 $f(0)=0, \; f\left ( \dfrac{3}{2}\pi \right ) = 1$ 이고 $$f'(x) = \begin{cases} l \cos x & \left ( 0 < x < \dfrac{\pi}{2} \right ) \\ m \cos x & \left ( \dfrac{\pi}{2} < x < \pi \right ) \\ n \cos x & \left (\pi < x < \dfrac{3}{2} \pi \right ) \end{cases}$$를 만족시킬 때, $\displaysty..

최고차항의 계수가 $\dfrac{1}{2}$ 이고 최솟값이 $0$ 인 사차함수 $f(x)$ 와 함수 $g(x)=2 x^4 e^{-x}$ 에 대하여 합성함수 $h(x)=(f \circ g)(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 방정식 $h(x)=0$ 의 서로 다른 실근의 개수는 $4$ 이다.(나) 함수 $h(x)$ 는 $x=0$ 에서 극소이다.(다) 방정식 $h(x)=8$ 의 서로 다른 실근의 개수는 $6$ 이다. $f'(5)$ 의 값을 구하시오. (단, $\lim \limits_{x \to \infty} g(x)=0$) 정답 $30$

그림과 같이 좌표평면 위에 중심이 $\rm O(0, \; 0)$ 이고 점 ${\rm A}(1, \; 0)$ 을 지나는 원 $C_1$ 위의 제1사분면 위의 점을 $\rm P$ 라 하자. 점 $\rm P$ 를 원점에 대칭시킨 점을 $\rm Q$ , $x$ 축에 대하여 대칭이동시킨 점을 $\rm R$ 라 하자. 선분 $\rm QR$ 를 지름으로 하는 원 $C_2$ 와 두 선분 $\rm PQ, \; AQ$ 와의 교점을 각각 $\rm M, \; N$ 이라 하자. $\angle \rm OPA = \theta$ 라 할 때, 두 삼각형 $\rm MQN, \; PNR$ 의 넓이를 각각 $S(\theta), \; T(\theta)$ 라 하자. $\lim \limits_{\theta \to 0+} \dfrac{\theta^..

$ab0)$ 에 대하여 부등식 $$g(x)-k \ge xf(x)$$ 를 만족시키는 양의 실수 $x$ 가 존재할 때, 이 $x$ 의 값 중 최솟값을 $h(k)$ 라 하자. 함수 $g(x)$ 와 $h(k)$ 는 다음 조건을 만족시킨다. (가) 함수 $g(x)$ 는 극댓값 $\alpha$ 를 갖고 $h(\alpha)=2$ 이다.(나) $h(k)$ 의 값이 존재하는 $k$ 의 최댓값은 $8e^{-2}$ 이다. $100 \left (a^2 + b^2 \right )$ 의 값을 구하시오. $\left ( 단, \; \lim \limits_{x \to \infty} f(x)=0 \right )$ 정답 $125$

삼차함수 $f(x)=x^3-4x^2$ 에 대하여 함수 $f(\ln x)$ 가 극값을 갖는 $x$ 의 값을 $a, \; b\;\;(a

$n$ 이하의 자연수 $k$ 에 대하여 $x_k = \dfrac{k}{n}$ 라 하자. 함수 $f(x)=e^{2x}-e^x+ex$ 에 대하여 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $ {\rm A}_k(x_k, \; f(x_k))$ 에서의 접선이 $x$ 축과 만나는 점을 ${\rm B}_k$ 라 하고, 점 ${\rm A}_k$ 에서 $x$ 축에 내린 수선의 발을 $ {\rm C}_k$ 라 하자. $\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{1}{n} \sum \limits_{k=1}^n \dfrac{\{f(x_k)\}^4}{\overline{{\rm B}_k {\rm C}_k}}$ 의 값은? (단, $n$ 은 자연수이다.) ① $\dfrac{1}{4}e^4$ ② $\dfrac{1}{2}e^4$..

열린 구간 $\left ( - \dfrac{\pi}{2}, \; \dfrac{3\pi}{2} \right )$ 에서 정의된 함수 $$f(x) = \begin{cases} 2 \sin^3x & \left ( - \dfrac{\pi}{2} < x < \dfrac{\pi}{4} \right ) \\[10pt] \cos x & \left ( \dfrac{\pi}{4} \le x < \dfrac{3\pi}{2} \right ) \end{cases} $$ 가 있다. 실수 $t$ 에 대하여 다음 조건을 만족시키는 모든 실수 $k$ 의 개수를 $g(t)$ 라 하자. (가) $-\dfrac{\pi}{2}

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 $f(x)$ 에 대하여 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $(t, \; f(t))$ 에서의 접선의 $y$ 절편을 $g(t)$ 라 하자. 모든 실수 $t$ 에 대하여 $$\left ( 1+t^2 \right ) \{ g(t+1)-g(t) \}=2t$$ 이고, $\displaystyle \int_0^1 f(x)\; dx = -\dfrac{\ln 10}{4}, \;\; f(1) = 4+ \dfrac{\ln 17}{8}$ 일 때, $2\{f(4)+f(-4)\}- \displaystyle \int_{-4}^4 f(x)\; dx$ 의 값을 구하시오. 정답 $16$