(이과) 역함수의 미분_난이도 상 (2018년 10월 교육청 가형 21번)

함수 $f(x)=- \dfrac{kx^3}{x^2+1}~(k>1)$ 에 대하여 곡선 $y=f(x)$ 와 곡선 $y=f^{-1}(x)$ 가 만나는 점의 $x$ 좌표 중 가장 작은 값을 $\alpha$, 가장 큰 값을 $\beta$ 라 하자. 함수 $y=f(x-2\beta)+2\alpha$ 의 역함수 $g(x)$ 에 대하여 $f'(\beta) = 2g'(\alpha)$ 일 때, 상수 $k$ 의 값은?

① $\dfrac{5+2\sqrt{3}}{7}$          ② $\dfrac{6+2\sqrt{2}}{7}$          ③ $\dfrac{4+2\sqrt{2}}{5}$          ④ $\dfrac{5+2\sqrt{2}}{5}$          ⑤ $\dfrac{6+2\sqrt{2}}{5}$

정답 ②