(이과) 역함수의 정적분_난이도 상 (2018년 10월 교육청 가형 30번)

함수 $$f(x)=\begin{cases} -x-\pi & (x<-\pi) \\[10pt] \sin x & (-\pi \le x \le \pi) \\[10pt] -x+\pi & (x>\pi) \end{cases}$$ 가 있다. 실수 $t$ 에 대하여 부등식 $f(x) \le f(t)$ 를 만족시키는 실수 $x$ 의 최솟값을 $g(t)$ 라 하자. 예를 들어, $g(\pi) = -\pi$ 이다. 함수 $g(t)$ 가 $t=\alpha$ 에서 불연속일 때, $$\displaystyle \int_{-\pi}^\alpha g(t) dt = - \dfrac{7}{4} \pi^2 + p \pi + q$$  이다. $100 \times | p+q |$ 의 값을 구하시오. (단, $p, ~q$ 는 유리수이다.)  

정답 $350$