(이과) 삼각함수의 적분&부등식의 영역_난이도 상(2018년 9월 평가원 가형 21번)

$0$ 이 아닌 세 정수 $l, \; m, \; n$ 이 $$ |~l~|+|~m~|+|~n~| \le 10$$을 만족시킨다. $0 \le x \le \dfrac{3}{2}\pi$  에서 정의된 연속함수 $f(x)$ 가 $f(0)=0, \; f\left ( \dfrac{3}{2}\pi \right ) = 1$ 이고 $$f'(x) = \begin{cases} l \cos x & \left ( 0 < x < \dfrac{\pi}{2} \right ) \\ m \cos x & \left (  \dfrac{\pi}{2} < x < \pi \right ) \\ n \cos x & \left (\pi < x < \dfrac{3}{2} \pi \right ) \end{cases}$$를 만족시킬 때, $\displaystyle \int_0^{\frac{3}{2}\pi} f(x) dx$ 의 값이 최대가 되도록 하는 $l, \; m, \;n$ 에 대하여 $l+2m+3n$ 의 값은?

① $12$          ② $13$          ③ $14$          ④ $15$          ⑤ $16$

정답 ⑤