수악중독

함수 $f(x)=x^2 +ax+b \; \left ( 0< b < \dfrac{\pi}{2} \right )$ 에 대하여 함수 $g(x)=\sin (f(x))$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 모든 실수 $x$ 에 대하여 $g'(-x)=-g'(x)$ 이다.(나) 점 $(k, \; g(k))$ 는 곡선 $y=g(x)$ 의 변곡점이고, $2kg(k) = \sqrt{3} g'(k)$ 이다. 두 상수 $a, \; b$ 에 대하여 $a+b$ 의 값은? ① $\dfrac{\pi}{3} - \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ ② $\dfrac{\pi}{3} - \dfrac{\sqrt{3}}{3}$ ③ $\dfrac{\pi}{3} - \dfrac{\sqrt{3}}{6}$ ④ $\dfrac{\pi}{2} - \df..

두 함수 $f(x)=ax^2 \; (a>0)$ , $g(x)= \ln x$ 의 그래프가 한 점 $\rm P$ 에서 만나고, 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $\rm P$ 에서의 접선의 기울기와 곡선 $y=g(x)$ 위의 점 $\rm P$ 에서의 접선의 기울기가 서로 같다. 두 곡선 $y=f(x), \; y=g(x)$ 와 $x$ 축으로 둘러싸인 부분의 넓이는? (단, $a$ 는 상수이다.) ① $\dfrac{2 \sqrt{e} -3}{6}$ ② $\dfrac{2 \sqrt{e} -3}{3}$ ③ $\dfrac{ \sqrt{e} -1}{2}$ ④ $\dfrac{4 \sqrt{e} -3}{6}$ ⑤ $\sqrt{e}-1$ 정답 ②

다음 조건을 만족시키며 최고차항의 계수가 $1$ 인 모든 사차함수 $f(x)$ 에 대하여 $f(0)$ 의 값의 최댓값과 최솟값의 합을 구하시오. $\left ( 단, \; \lim \limits_{x \to \infty} \dfrac{x}{e^x} = 0 \right )$ (가) $f(1)=0, \;\; f'(1)=0$(나) 방정식 $f(x)=0$ 의 모든 실근은 $10$ 이하의 자연수이다.(다) 함수 $g(x)= \dfrac{3x}{e^{x-1}} +k$ 에 대하여 함수 $\left |(f \circ g) (x) \right |$ 가 실수 전체의 집합에서 미분가능하도록 하는 자연수 $k$ 의 개수는 $4$ 이다. 정답 $77$

그림과 같이 $\overline{\rm AB} = \overline{\rm AC}=10$, $\overline{\rm BC}=12$ 인 이등변삼각형 $\rm ABC$ 가 있다. 선분 $\rm AB$ 위에 $\angle {\rm DCB}=\theta$, $\sin \theta = \dfrac{\sqrt{10}}{10}$ 이 되도록 점 $\rm D$ 를 잡고, 선분 $\rm AC$ 위에 $\angle {\rm EBA}=2 \theta$ 가 되도록 점 $\rm E$ 를 잡는다. 선분 $\rm BE$ 와 선분 $\rm CD$ 가 만나는 점을 $\rm F$, 점 $\rm F$ 에서 선분 $\rm BC$ 에 내린 수선의 발을 $\rm H$ 라 할 때, 선분 $\rm FH$ 의 길이는 $\dfrac{q}{p}$ 이다..

실수 전체에서 증가하는 함수 $f(x)$ 가 다음 세 조건을 만족시킨다. (가) $f(0)=4, \; f(2)=e+4$ (나) $\displaystyle \int_0^2 f(x)\; dx = 2e+5$ (다) $f(x)=2f'(x)+\dfrac{1}{2} x +2$ 함수 $f(x)$ 의 역함수를 $g(x)$ 라 할 때, $\displaystyle \int_4^{e+4} \dfrac{1}{g'(x)} \; dx$ 의 값은? ① $\dfrac{1}{4} \left ( e^2 + 4e -4\right )$ ② $\dfrac{1}{4} \left ( e^2 + 4e -3 \right )$ ③ $\dfrac{1}{4} \left ( e^2 + 4e -2 \right )$ ④ $\dfrac{1}{4} \left (..

점 $\left ( - \dfrac{\pi}{2}, \; 0 \right )$ 에서 곡선 $y=\sin x \; (x>0)$ 에 접선을 그어 접점의 $x$ 좌표를 작은 수부터 크기순으로 모두 나열할 때, $n$ 번째 수를 $a_n$ 이라 하자. 모든 자연수 $n$ 에 대하여 에서 옳은 것만을 있는대로 고른 것은? ㄱ. $\tan a_n = a_n + \dfrac{\pi}{2}$ㄴ. $\tan a_{n+2} - \tan a_n > 2\pi$ㄷ. $a_{n+1}+a_{n+2}>a_n+a_{n+3}$ ① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ⑤

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 $f(x)$ 가 다음 조건을 만족시킬 때, $f(-1)$ 의 값은? (가) 모든 실수 $x$ 에 대하여 $2 \{f(x)\}^2f'(x)=\{f(2x+1)\}^2f'(2x+1)$ 이다.(나) $f \left ( - \dfrac{1}{8} \right ) = 1, \;\; f(6)=2$ ① $ \dfrac{\sqrt[3]{3}}{6}$ ② $ \dfrac{\sqrt[3]{3}}{3}$ ③ $ \dfrac{\sqrt[3]{3}}{2}$ ④ $ \dfrac{2\sqrt[3]{3}}{3}$ ⑤ $ \dfrac{5\sqrt[3]{3}}{6}$ 정답 ④

최고차항의 계수가 $6\pi$ 인 삼차함수 $f(x)$ 에 대하여 함수 $g(x)=\dfrac{1}{2+\sin(f(x))}$ 이 $x=\alpha$ 에서 극대 또는 극소이고, $\alpha \ge 0$ 인 모든 $\alpha$ 를 작은 수부터 크기순으로 나열한 것을 $\alpha_1, \; \alpha_2, \; \alpha_3, \; \alpha_4, \; \alpha_5, \; \cdots$ 라 할 때, $g(x)$ 는 다음 조건을 만족시킨다. (가) $\alpha_1 = 0$ 이고 $g(\alpha_1) = \dfrac{2}{5}$ 이다. (나) $\dfrac{1}{g(\alpha_5)} = \dfrac{1}{g(\alpha_2)} + \dfrac{1}{2}$ $g' \left ( -\dfrac{..

구간 $(0, \; \infty)$ 에서 미분가능한 함수 $f(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $\displaystyle \int_1^x f \left ( t^2 \right ) dt = 2xf(x)+4$ (나) $\displaystyle \int_1^e \dfrac{f(t)}{t} \; dt = 1+ \dfrac{1}{e^2} - \dfrac{3}{e^4}$ 함수 $g(x)= \displaystyle \int_0^{\ln x^2} f \left (e^t \right ) dt$ 에 대하여 $\displaystyle \int_1^e g(x) dx = k_1 e + \dfrac{k_2}{e} + \dfrac{k_3}{e^3} + k_4$ 일 때, $|k_1| + |k_2| + |k_3| + |k_..

함수 $f(x)=\dfrac{x}{e^x}$ 에 대하여 구간 $\left [ \dfrac{12}{e^{12}}, \; \infty \right )$ 에서 정의된 함수 $$g(t) = \displaystyle \int_0^{12} | f(x) -t |\; dx$$ 가 $t=k$ 에서 극솟값을 갖는다. 방정식 $f(x)=k$ 의 실근의 최솟값을 $a$ 라 할 때, $g'(1) + \ln \left (\dfrac{6}{a} +1 \right ) $ 의 값을 구하시오. 정답 $18$