(이과) 역함수의 미분&역함수의 성질_난이도 상 (2018년 5월 전북교육청 가형 30번)

삼차함수 $f(x)=x^3-4x^2$ 에 대하여 함수 $f(\ln x)$ 가 극값을 갖는 $x$ 의 값을 $a, \; b\;\;(a<b)$ 라 할 때, 닫힌 구간 $[a, \ b]$ 에서 함수 $g(x)=f(\ln x)$ 의 역함수를 $h(x)$ 라 하자. 곡선 $y=h(x)$ 의 변곡점의 좌표가 $(m,\;n)$ 일 때, $a \times b \times h'(m)=-\dfrac{e^\frac{q}{p}}{4}$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. 

(단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.)

정답 $13$