수악중독

좌표평면 위의 원점 $\rm O$ 와 점 ${\rm P_1}(1,\;0)$ 이 있다. 모든 자연수 $n$ 에 대하여 점 ${\rm P}_n (x_n ,\; y_n)$ 은 다음 조건을 만족시킨다. (가) 동경 ${\rm OP}_n$ 이 나타내는 각의 크기는 $\dfrac{n-1}{3}\pi$ 이다. (나) \[\overline {{\rm{O}}{{\rm{P}}_{n + 1}}} = \left\{ {\begin{array}{ll} {\dfrac{1}{2}\overline {{\rm{O}}{{\rm{P}}_n}} }&{\left( {{y_n} > 0} \right)}\\[12pt] {\overline {{\rm{O}}{{\rm{P}}_n}} }&{\left( {{y_n} = 0} \rig..

두 수열 $\{a_n\},\;\{b_n\}$ 이 자연수 $n$ 에 대하여 $a_n = 5n+1$ $b_1=1, \;\; b_{n+1}-b_n=n+1$ 을 만족시킨다. $10$ 이하인 두 자연수 $k,\;l$ 에 대하여 $a_k$ 와 $b_l$ 의 곱이 홀수가 되는 순서쌍 $(k, \;l)$ 의 개수를 구하시오. 정답 $30$

두 등차수열 $\{a_n\}, \; \{b_n\}$ 에 대하여 $a_1 +b_1 =45,\;\; \sum \limits_{k=1}^{10} a_k + \sum \limits_{k=1}^{10} b_k=500$ 일 때, $a_{10}+b_{10}$ 의 값을 구하시오. 정답 $55$

그림과 같은 수도관은 물을 흘려보내면 유실되는 물이 없이 왼쪽으로 $a$, 오른쪽으로 $b$ 가 흐른다. 일정한 양의 물을 흘려보낸 후 물통 $A, \;B,\;C,\;D,\;D$ 의 물의 양을 측정하면 물통 $B, \;C,\;D$ 순으로 등비수열을 이룬다. $b=p\sqrt{5}-q$ ($p,\;q$ 는 유리수) 일 때, $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $ab \ne 0$) 정답 $100$

등차수열 $\{a_n\}$ 의 공차와 각 항이 $0$ 이 아닌 실수일 때, 방정식 $a_{n+2}x^2+2a_{n+1}+a_n=0$ 의 한 근을 $b_n$ 이라 하면 등차수열 $\left \{ \dfrac{b_n}{b_n+1} \right \}$ 의 공차는? (단, $b_n \ne -1$) ① $-\dfrac{1}{2}$ ② $-\dfrac{1}{4}$ ③ $\dfrac{1}{8}$ ④ $\dfrac{1}{4}$ ⑤ $\dfrac{1}{2}$ 정답 ①

첫째항이 $50$, 공차가 정수인 등차수열 $\{a_n\}$ 에 대하여 수열 $\{T_n\}$ 을 $T_n = \left |a_1 +a_2 +a_3 + \cdots +a_n \right |$ 이라 하자. 수열 $\{T_n\}$ 이 다음 조건을 만족시킨다. (가) $T_{16} T_{18}$ $T_n>T_{n+1}$ 을 만족시키는 $n$ 의 최댓값을 구하시오. 정답 $33$

등차수열 $\{a_n\}$ 에서 $a_3 = 40,\; a_8=30$ 일 때, $\left | a_2 +a_4 +a_8 + \cdots +a_{2n} \right |$ 이 최소가 되는 자연수 $n$ 의 값을 구하시오. 정답 $22$

수열 $\{a_n\}$ 에 대하여 첫째항부터 제$n$항까지의 합을 $S_n$ 이라 하자. 수열 $\{S_{2n-1}\}$ 은 공차가 $-3$ 은 등차수열이고, 수열 $\{S_{2n}\}$ 은 공차가 $2$ 인 등차수열이다. $a_2 =1$ 일 때, $a_8$ 의 값을 구하시오. 정답 $16$

수열 $\{a_n\}$ 이 $0.23,\;\;0.2323,\;\;0.232323,\;\; 0.23232323,\;\; \cdots$ 일 때, 일반항 $a_n$ 은 $a_n=\dfrac{23}{a} \left \{ b- \left ( 10^c \right )^n \right \}$ 이다. $a+b+c$ 의 값을 구하시오. (단, $a,\;b,\;c$ 는 정수) 정답 $98$

음이 아닌 정수 $n$ 에 대하여 다음 조건을 만족시키는 점의 좌표를 ${\rm P}(a_n , \; b_n)$ 이라 하자. (ㄱ) $a_0=1, \; b_0 =0$ (ㄴ) 점 ${\rm P}(a_{n+1},\; b_{n+1})$ 은 점 ${\rm P}(a_n ,\; b_n)$ 에서 원 $x^2+y^2=1$ 의 호를 따라 시계 반대 방향으로 $\dfrac{\pi}{18}$ 만큼 이동한 것이다. 이때, $a_n =b_n$ 을 만족시키는 $n$ 은 (가), 그리고 $c_k = a_{18k} \; (k=1, \;2,\;3,\;\cdots)$ 라 하면 수열 $\{c_k\}$ 는 공비가 (나)인 등비수열이다. 위의 (가), (나)에 알맞은 것은? ① 존재하지 않는다. \(-..