수악중독

수열 $\{ a_n \}$ 의 첫째항부터 제 $n$ 항까지의 합을 $S_n$ 이라 하자. ${a_{n+1}} = \left\{ {\begin{array}{ll} {\dfrac{{1 - {a_n}}}{2}}&{\left( {n = 1,\;\;3,\;\;5,\;\; \cdots } \right)}\\ {\dfrac{{{a_n}}}{2} + 1}&{\left( {n = 2,\;\;4,\;\;6,\;\; \cdots } \right)} \end{array}} \right.$ 일때, $S_m >100,\;\; S_{m+1}>100$ 을 모두 만족시키는 자연수 $m$ 의 최솟값을 구하시오. 더보기 정답 $202$

공차가 $d_1 ,\; d_2$ 인 두 등차수열 $\{a_n \},\; \{b_n \}$ 의 첫째항부터 제 $n$ 항까지의 합을 각각 $S_n ,\; T_n$ 이라 하자. $S_n T_n = n^2 \left ( n^2 -1 \right )$ 일 때, 에서 항상 옳은 것을 모두 고른 것은? ㄱ. $a_n =n$ 이면 $b_n = 4n-4$ 이다. ㄴ. $d_1 d_2 = 4$ ㄷ. $a_1 \ne 1$ 이면 $a_n =n$ 이다. ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ③

수열 $\{a_n\}$ 은 다음과 같이 자연수 중에서 $3$ 의 배수를 제외한 나머지 자연수를 작은 수부터 순서대로 나열한 것이다. $\{a_n\}\;:\; 1,\;2,\;4,\;5,\;7,\;8,\;10,\;11,\;13,\;14,\;16, \; \cdots$ 이때, 수열 $\{b_n\}$ 을 다음과 같이 정의하자.\[{b_n} = \left\{ {\begin{array}{ll} {\dfrac{{{a_n}}}{2}}&{\left( {{a_n} 이\; 짝수일\; 때 } \right)}\\ {{a_n} - 1}&{\left( {{a_n} 이\; 홀수일 \;때 } \right)} \end{array}{\rm{ }}\;\;\;\left( {n = 1,\;2,\;3,\; \cdots } \righ..

수열 $\{a_n\}$ 에서 $\sum \limits_{k=1}^{n} \dfrac{a_1 + a_2 + \cdots + a_k }{k!} = \left ( n+ \dfrac{3}{2} \right ) ^2 \;\; (n=1,\;2,\;3,\; \cdots )$ 일 때, $\dfrac{4}{5}a_1 +a_4$ 의 값은? ① $197$ ② $198$ ③ $199$ ④ $200$ ⑤ $201$ 정답 ①

자연수 $n$ 에 대하여 연립부등식 $\dfrac{|x|}{\left ( \dfrac{1}{2} \right )^{2n-1}} + \dfrac{|y|}{\left ( \dfrac{1}{2} \right ) ^{2n}} \leq 1, \;\;\;\; \dfrac{|x|}{\left ( \dfrac{1}{2} \right )^{2n+1}} + \dfrac{|y|}{\left ( \dfrac{1}{2} \right ) ^{2n}} \geq 1$ 을 만족시키는 좌표평면 위의 점 $(x,\; y)$ 가 나타내는 영역의 넓이를 $a_n$ 이라 하자. 수열 $\{ a_n\}$ 의 첫째항부터 제$n$ 항까지의 합 $S_n$ 에 대하여 \(\log _{\frac{1}{2}} (1-5S_{10..

다음과 같이 소수점 아래에 $0$ 과 $1$ 의 개수를 한 개씩 늘려가면서 교대로 나열하여 만든 실수 $x$ 가 있다. $x=0.01001100011100001111\cdots$ 실수 $x$ 의 소수점 아래 $n$ 째 자리의 수를 $a_n$ 이라 할 때, $\sum \limits_{k=1}^{m} a_k a_{k+1} =50$ 을 만족시키는 자연수 $m$ 의 값을 구하시오. 정답 $126$

오른쪽 순서도에서 인쇄되는 $n$ 의 값을 구하시오. (단, $50!=50 \times 49 \times 48 \times \cdots \times 2 \times 1$ ) 정답 $22$

그림과 같이 자연수 $n$ 에 대하여 곡선 $y=2^x$ 위의 점 ${\rm A}_n$ 을 지나고 $y$ 축에 수직인 직선이 곡선 $y=3^x$ 과 만나는 점을 ${\rm B}_n$ 이라 하자. 또, 점 ${\rm B}_n$ 을 지나고 $x$ 축에 수직인 직선이 곡선 $y=2^x$ 과 만나는 점을 ${\rm A}_{n+1}$ 이라 하자. 점 $\rm A_1$ 의 $x$ 좌표가 $1$ 일 때, $\sum \limits_{n=1}^{10} \overline{{\rm A}_n {\rm B}_n}$ 의 값은? ① $1-\log_3 2$ ② $\log_2 3 -1$ ③ $\left ( \log_2 3 \right )^{10} -1$ ④ \(1- \lef..

다음은 모든 자연수 $n$ 에 대하여 등식 $\sum \limits_{k=1}^n (2k+1) \left ( \dfrac{1}{k} + \dfrac{1}{k+1}+\dfrac{1}{k+2} +\cdots + \dfrac{1}{n} \right ) = \dfrac{n(n+5)}{2}$ 가 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다. (i) $n=1$ 일 때, (좌변)=$3$, (우변)=$3$ 이므로 주어진 등식이 성립한다. (ii) $n=m\;(n \geq 1)$ 일 때, 주어진 등식이 성립한다고 가정하면 \[\sum \limits_{k=1}^m (2k+1) \left ( \dfrac{1}{k} + \dfrac{1}{k+1}+\dfrac{1}{k+2} +\cdots + \dfrac{1}..

민영이는 $K$ 은행의 아름다운 통장에 $2011$ 년 초부터 $2020$ 년 초까지 매년 초에 $a$ 만 원씩 적립한 후 $2020$ 년 말에 이 통장에 있는 모든 돈을 찾아서 $2021$ 년 초에 미래연금통장에 입금하여 $2021$ 년 말부터 $2030$ 년 말까지 매년 $954$ 만 원씩 연금을 받으려고 한다. 두 개의 통장 모두 연이율 $6$ 로 $1$ 년마다 복리로 계산할 때, $a$ 의 값은? (단, $(1.06)^{10} =1.8$ 로 계산하고, $2030$ 년 말에 마지막으로 연금을 받고 나면 미래연금통장의 잔액은 $0$ 원이다.) ① $400$ ② $450$ ③ $500$ ④ $550$ ⑤ $600$ 정답 ③