수악중독

수학자 드 므와브르에 대하여 다음과 같은 일화가 전해지고 있다. 드 므와브르는 자신의 수면 시간이 매일 $15$ 분씩 길어진다는 것을 깨닫고, 수면 시간이 $24$ 시간이 되는 날을 계산하여 그날에 자신이 죽을 것이라고 예측하였다. 그런데 놀랍게도 그날에 수면하는 상태에서 생을 마쳤다. 드 므와브르가 매일 밤 $12$ 에 잠든다고 가정할 때, 처음 이 사실을 알게 된 날의 수면 시간이 $14$ 시간이었다면 그날부터 생을 마칠 때까지 깨어있는 시간의 합은? ① $197$ ② $205$ ③ $214$ ④ $224$ ⑤ $235$ 정답 ②

다음과 같이 정의된 수열 $\{a_n\}$ 이 있다.$a_1=1,\;\; \dfrac{1}{a_{n+1}}-\dfrac{1}{a_n} = \dfrac{1}{2}\;\;\;(n=1,\;2,\;3,\;\cdots)$ $a_{20}$ 의 값은? ① $\dfrac{2}{21}$ ② $\dfrac{4}{21}$ ③ $\dfrac{5}{21}$ ④ $\dfrac{2}{7}$ ⑤ $\dfrac{3}{7}$ 정답 ①

자연수 $m$ 과 공차가 양수인 등차수열 $\{a_n\}$ 에 대하여 $a_k \leq m < a_{k+1}$ 이 성립하는 $k$ 의 값을 $b_m$ 이라 하자. $a_1=1,\; b_7=3$ 일 때, $b_{20}$ 의 값이 될 수 있는 모든 자연수의 합을 구하시오. 정답 $34$

첫째항이 $1$, 공비가 $3$ 인 등비수열 $\{a_n\}$ 에서 첫째항부터 제 $n$ 항까지의 합을 $S_n$ 이라 하자. 수열 $\{S_n+p\}$ 가 등비수열을 이루도록 하는 상수 $p$ 의 값은? ① $1$ ② $\dfrac{1}{2}$ ③ $\dfrac{1}{3}$ ④ $\dfrac{1}{4}$ ⑤ $\dfrac{1}{5}$ 정답 ②

양의 실수 $x$ 에 대하여 상용로그 $\log x$ 의 지표를 $f(x)$ 라 할 때, 수열 $\{ a_n \}$ 의 일반항 $a_n$ 을 $n$ 자리의 자연수 중 다음 조건을 만족시키는 자연수 $k$ 의 개수라 하자. (가) $f(4k)=f(k)$ (나) $f(5k)=f(k)+1$ 예를 들어, $n=1$ 일 때 자연수 $k$ 가 $2$ 뿐이므로 $a_1 =1$ 이다. $a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_{10}$ 의 값은? ① $\dfrac{5}{9} \left ( 10^9 -1 \right ) -1$ ② $\dfrac{5}{9} \left ( 10^9 -1 \right )$ ③ \(\dfrac{5}{9} \left ( ..

모든 항이 양수인 수열 $\{a_n \}$ 에 대하여 수열 $\{b_n \}$ 을 다음과 같이 정의하다. ${b_n} = \left\{ {\begin{array}{ll}{{{\log }_2}{a_n}}&{\left( {n은 \; 홀수} \right)}\\{{2^{{a_n}}}}&{\left( {n은 \; 짝수} \right)}\end{array}} \right.$ 이때 수열 $\{b_{2n-1}\}$ 은 공차가 $3$ 인 등차수열이고, 수열 $\{b_{2n}\}$ 은 공비가 $3$ 인 등비수열이라 하자. $a_1 =a_2$ 이고 $b_{2011}=3016$ 일 때, $b_{2014}$ 의 값은? ① $2 \cdot 3^{1005}$ ② \(4 \cdot 3^{10..

용량이 $2000 \rm L$ 인 석유 저장 탱크에 첫째 날 석유 $100 \rm L$ 를 채우고, 둘째 날은 첫째 날 채운 양의 $\dfrac{1}{2}$ 을 채운다. 셋째 날은 둘째 날까지 채운 양의 $\dfrac{1}{3}$, 넷째 날은 셋째 날까지 채운 양의 $\dfrac{1}{4}, \; \cdots, \; n\; (n \geq 2)$ 째 날에는 $(n-1)$ 째 날까지 채운 양의 $\dfrac{1}{n}$ 을 채운다. 이때 채운 석유의 양의 총합이 저장 탱크의 절반 이상이 되는 날은 몇 일 째인가? (단, 처음 저장 탱크는 비어 있고, 자연 증발하는 양은 없다.) ① $17$ ② $19$ ③ $21$ ④ $23$ ⑤ $25$ 정답 ②

그림과 같이 $\angle \rm B=90^o$ 이고 선분 $\rm BC$ 의 길이가 $6\sqrt{5}$ 인 직각삼각형 $\rm ABC$ 의 꼭짓점 $\rm B$ 에서 빗변 $\rm AC$ 에 내린 수선의 발을 $\rm D$ 라 하자. 세 선분 $\rm AD, \; CD, \; AB$ 의 길이가 이 순서대로 등차수열을 이룰 때, 선분 $\rm AC$ 의 길이를 구하시오. 정답 $18$

다음과 같은 규칙에 따라 자연수를 차례로 나열한다. (가) $1$ 행에는 $1$ 과 $2$ 를 차례로 나열한다. (나) $2$ 행에는 $1$ 행의 수 $1$ 과 $2$ 를 차례로 나열한 후 그 사이에 $3$ 을 나열한다. (다) $3$ 행에는 $2$ 행의 수 $1,\;3,\;2$ 를 차례로 나열한 후 그 사이사이에 왼쪽부터 차례로 $4$ 와 $5$ 를 나열한다. (라) $(n+1)$ 행에는 $n$ 행의 수를 차례로 나열한 후 그 사이사이에 왼쪽부터 차례로 $n$ 행에 마지막으로 나열된 수보다 $1$ 큰 수부터 나열한다. 위와 같은 방법으로 수를 나열하면 다음과 같고 $4$ 행의 $4$ 번째 수는 $7$ 이다. 이때, $11$ 행의..

모든 성분이 $0$ 또는 자연수로 이루어진 이차정사각행렬 $A$ 가 \(A^2 = \left ( \matrix {3 & 2 \\ 1&2} \right ) \) 를 만족시킨다. 행렬 $A^n \; (n=1,\;2,\;3,\; \cdots)$ 의 모든 성분의 합을 $a_n$ 이라 할 때, $\sum \limits_{k=1}^{9} a_k$ 의 값은? ① $2020$ ② $2028$ ③ $2036$ ④ $2044$ ⑤ $2052$ 정답 ④