좌표평면에서 네 점 $\rm A(0, \;0)$, $\rm B(1, \; 0)$, $\rm C(1, \; 1)$, $\rm D(0, \; 1)$ 이 있다. 자연수 $n$ 에 대하여 집합 $X_n$ 은 다음 조건을 만족시키는 모든 점 $(p, \; q)$ 를 원소로 하는 집합이다.
(가) 점 $(p, \; q)$ 는 정사각형 $\rm ABCD$ 의 내부에 있다.
(나) 정사각형 $\rm ABCD$ 의 변 위를 움직이는 점 $\rm P$ 와 점 $(p, \; q)$ 사이의 거리의 최솟값은 $\dfrac{1}{2^n}$ 이다.
(다) $p=\dfrac{1}{2^k}$ 이고 $q=\dfrac{1}{2^m}$ 인 자연수 $k, \; m$ 이 존재한다.
집합 $X_n$ 의 원소의 개수를 $a_n$ 이라 할 때, $\sum \limits_{n=1}^{10} a_n$ 의 값은?
