구간에 따른 함수의 최대최소&정적분_난이도 상 (2020년 7월 교육청 고3 나형 30번)

$t \ge 6-3\sqrt{2}$ 인 실수 $t$ 에 대하여 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $f(x)$ 가 $$f(x) = \begin{cases} 3x^2 + tx & (x<0) \\[10pt] -3x^2+tx & (x \ge 0) \end{cases}$$ 일 때, 다음 조건을 만족시키는 실수 $k$ 의 최솟값을 $g(t)$ 라 하자.

 

(가) 닫힌구간 $[k-1, \; k]$ 에서 함수 $f(x)$ 는 $x=k$ 에서 최댓값을 갖는다.

(나) 닫힌구간 $[k, \; k+1]$ 에서 함수 $f(x)$ 는 $x=k+1$ 에서 최솟값을 갖는다.

 

$\displaystyle 3 \int_2^4 \{ 6g(t)-3 \}^2 dt$ 의 값을 구하시오. 

 

정답 $37$