자연수의 분할&수열의 합_난이도 상

무리함수 $f(x)=\sqrt{\dfrac{x}{2}}$ 의 역함수를 $g(x)$ 라 할 때, 자연수 $n$ 에 대하여 $$g(n) \le x \le g(n+1), \; \; n \le y \le n+1$$ 가 나타내는 영역에  세로의 길이와 가로의 길이가 모두 자연수인 직사각형 여러 개를 다음 규칙에 따라 빈틈없이 나열한다.

(가) 영역에 나열된 직사각형의 수는 4개이다.

(나) 왼쪽에 나열된 직사각형의 길이는 그보다 오른쪽에 나열된 직사각형의 가로의 길이보다 크지 않다.

규칙에 따라 직사각형을 나열하는 방법의 수를 $a_n$, 가장 왼쪽에 반드시 정사각형을 배치하고 남은 영역에 규칙에 따라 직사각형을 나열하는 방법의 수를 $b_n$ 이라 할 때, $\sum \limits_{n=2}^6 a_n - \sum \limits_{n=3}^6 (7-n)b_n$ 의 값을 구하시오. 

정답 $45$