확률과 통계_경우의 수_중복조합_난이도 상 (2017년 9월 평가원 가형 20번)

다음은 $n$ 명의 사람이 각자 세 상자 $\rm A, \; B, \; C$ 중 $2$개의 상자를 선택하여 각 상자에 공을 하나씩 넣을 때, 세 상자에 서로 다른 개수의 공이 들어가는 경우의 수를 구하는 과정이다. (단, $n$ 은 $6$의 배수인 자연수이고, 공은 구별하지 않는다.)

세 상자에 서로 다른 개수의 공이 들어가는 경우는 '(i) 세 상자에 공이 들어가는 모든 경우' 에서 '(ii) 세 상자에 모두 같은 개수의 공이 들어가는 경우'와 '(iii) 세 상자 중 두 상자에만 같은 개수의 공이 들어가는 경우'를 제외하면 된다.

(i) 의 경우:

$n$ 명의 사람이 각자 세 상자 중 공을 넣을 두 상자를 선택하는 경우의 수는 $n$ 명의 사람이 각자 공을 넣지 않을 한 상자를 선택하는 경우의 수와 같다. 따라서 세 상자에서 중복을 허락하여 $n$ 개의 상자를 선택하는 경우의 수인 $\boxed{ \;\;  (가) \;\;  }$ 이다.

(ii) 의 경우:

각 상자에 $\dfrac{2n}{3}$ 개의 공이 들어가는 경우뿐이므로 경우의 수는 $1$ 이다.

(iii) 의 경우:

두 상자 $\rm A, \; B$ 에 같은 개수의 공이 들어가면 상자 $\rm C$ 에는 최대 $n$ 개의 공을 넣을 수 있으므로 두 상자 $\rm A, \; B$ 에 각각 $\dfrac{n}{2}$ 개보다 작은 개수의 공이 들어갈 수 없다. 따라서 두 상자 $\rm A, \; B$ 에 같은 개수의 공이 들어가는 경우의 수는 $\boxed{ \;\; (나) \;\;}$ 이다. 그러므로 세 상자 중 두 상자에만 같은 개수의 공이 들어가는 경우의 수는 ${}_3{\rm C}_2 \times \left ( \boxed{  \;\;(나)\;\;} -1 \right )$ 이다.

따라서 세 상자에 서로 다른 개수의 공이 들어가는 경우의 수는 $\boxed{\;\; (다)\;\;}$ 이다.

위의 (가), (나), (다)에 알맞은 식을 각각 $f(n), \; g(n), \; h(n)$ 이라 할 때, $\dfrac{f(30)}{g(30)}+h(30)$ 의 값은?

① $481$          ② $491$          ③ $501$          ④ $511$          ⑤ $521$

정답 ①