(이과) 벡터의 합&벡터 크기의 최댓값_난이도 상

그림과 같이 반지름의 길이가 $1$ 인 $4$ 개의 구 $S_1, \; S_2, \; S_3, \; S_4$ 가 서로 외접하며 놓여 있다. $4$ 개의 구 $S_1, \; S_2, \; S_3, \; S_4$ 위를 움직이는 점 $\rm P_1, \; P_2, \; P_3, \; P_4$ 에 대하여 $\left | 4 \overrightarrow{\rm P_1P_2} + \overrightarrow{\rm P_1P_3} + \overrightarrow{\rm P_1P_4} \right |$  의 최댓값이 $a+b\sqrt{3}$ 일 때, $a+b$ 의 값을 구하시오. (단, $a, \; b$ 는 정수이다.)

정답 $18$