수악중독

\(\lim \limits_{x \to 0} \dfrac{e^{5x}-e^{3x}-e^{2x}+1}{x^2}\) 의 극한값은? (단, \(e\) 는 자연로그의 밑이다.) ① \(3\) ② \(4\) ③ \(5\) ④ \(6\) ⑤ \(\ln 2\) 정답 ④

두 실수 \(a=\lim \limits_{t \to 0} \dfrac{\sin t}{2t} ,\;\; b= \lim \limits_{t \to 0} \dfrac{e^{2t}-1}{t}\) 에 대하여 함수 \(f(x)\) 가 \[f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{ll}a&{\left( {x \ge 1} \right)}\\b&{\left( {x < 1} \right)}\end{array}} \right.\]일 때, [보기]에서 옳은 것을 모두 고른 것은? ㄱ. \(f(1)=\dfrac{1}{2}\) ㄴ. \(f(f(1))=2\) ㄷ. \(\lim \limits_{x \to 1-0} f(f(x))= \lim \limits_{x \to 1+0} f(f(x))\) ① ㄱ..

두 함수 \(f(x)=\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{2x^{2n+2}+1}{x^{2n}+2},\;\; g(x)=\sin (k\pi x)\) 에 대하여 방정식 \(f(x)=g(x)\) 가 실근을 갖지 않을 때, \(60k\) 의 최댓값을 구하시오. 정답 \(10\) \(\sin (k \pi) \leq \dfrac{1}{2}\) 를 만족하는 \(k\) 가 \(\dfrac{5}{6}\) 가 될 수는 없냐고 질문한 분이 계셔서 추가 내용 올립니다. 아래 그림처럼 \(k=\dfrac{5}{6}\) 이 되면 \(x=1\) 에서의 함숫값은 \(\dfrac{1}{2}\) 보다 작아지지만 그 전에 이미 \(y=f(x)\) 와 교점을 갖기 때문에 조건에 맞지 않습니다.

그림과 같이 중심이 \(\rm O\) 이고 반지름의 길이가 \(1\) 인 원이 있다. 이 원에 내접하는 반지름의 길이가 \(\dfrac{1}{n}\) 인 원 \(\rm O_1\) 을 그리고, 중심 \(\rm O\) 에서 원 \(\rm O_1\) 에 그은 두 접선이 이루는 예각의 크기를 \(\theta_n\) 이라 하자. \(\lim \limits_{n \to \infty} \left ( \dfrac{14n^2 +1}{2n+1} \right ) \theta_n \) 의 값을 구하시오. (단, \(n>3\)) 정답 \(14\)

\(3^{x-1} +3^y = 3^{x+y} \) 에서 \(y=f(x)\) 라 할 때, \( \left | \lim \limits_{x \to \infty} f(x) \right | \) 의 값을 구하여라. 정답 \(1\)

함수의 극한에 대한 의 설명 중 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ㄱ. \(\lim \limits_{x \to a} \{ f(x)+g(x) \}\) 의 값이 존재하면 \(\lim \limits_{x \to a} f(x), \; \lim \limits_{x \to a} g(x) \) 의 값도 각각 존재한다. ㄴ. \(\lim \limits_{x \to a} \{ f(x)+g(x)\} , \;\; \lim \limits_{x \to a} \{ f(x)-g(x)\} \) 의 값이 각각 존재하면 \(\lim \limits_{x \to a} f(x)\) 의 값도 존재한다. ㄷ. \(\lim \limits_{x \to a} \{ f(x) - g(x) \} =0\) 이면 \(\lim \limits_{x \to a}..

두 함수 \(f(x), \; g(x)\) 에 대하여 옳은 것을 에서 모두 고른 것은? ㄱ. \(f(0)=1\) 이면 \(\lim \limits_{x \to 0} f(x)=1\) 이다. ㄴ. 실수 \(a\) 에 대하여 \(\lim \limits_{x \to a} f(x) = \infty\) 이고, \(\lim \limits_{x \to a} g(x) = \infty\) 이면 \(\lim \limits_{x \to a} \dfrac{f(x)}{g(x)} = \infty\) 이다. ㄷ. 임의의 실수 \(x\) 에 대하여 \(f(x)

다항함수 \(f(x)\) 가 \[ \lim \limits_{x \to \infty} \dfrac{f(x)}{3x-\sqrt{x^2 -3}}=3,\;\; \lim \limits_{x \to 2} \dfrac{f(x)}{x^2 -3x+2}=p\] 를 만족시킬 때, 상수 \(p\) 의 값을 구하시오. 정답 \(6\)

세 양수 \(a, \;b,\;c\) 에 대하여 \[ \lim \limits_{x \to \infty} x^a \ln \left ( b+\dfrac{c}{x^2} \right ) =2\] 일 때, \(a+b+c\) 의 값은? ① \(5\) ② \(6\) ③ \(7\) ④ \(8\) ⑤ \(9\) 정답 \(5\)

극한 \(\lim \limits_{n \to \infty} \sum \limits_{k=1}^{n} \left ( 1- \dfrac{k}{n} \right ) \left ( 1 - \dfrac{k-1}{n} \right ) \sin \dfrac{1002}{n} \cos \dfrac{1002}{n}\) 의 값을 구하시오. 정답 \(334\)