넓이와 정적분 (2016년 7월 교육청 나형 30번)

다항함수 $f(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $\lim \limits_{x \to \infty} \dfrac{f(x)}{x^4}=1$

(나) $f(1)=f'(1)=1$

$-1 \le n \le 4$ 인 정수 $n$ 에 대하여 함수 $g(x)$ 를 $$g(x)=f(x-n)+n \; (n \le x < n+1)$$ 이라 하자. 함수 $g(x)$ 가 열린구간 $(-1, \;5)$ 에서 미분가능할 때, $\displaystyle \int_0^4 g(x)dx=\dfrac{q}{p}$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p, \;q$ 는 서로소인 자연수이다.)

정답 $137$