수악중독

오른쪽 그림과 같이 물이 가득 채워져 있는 직원기둥의 물통을 천천히 기울여 물을 쏟다가 밑면의 중심 \(\rm O\) 에 수면이 닿을 때, 멈추었다. 처음 물통에 채워져 있는 물의 양을 \(V\), 남아 있는 물의 양을 \(V_1\) 이라 할 때, \(\dfrac{V_1}{V}\) 의 값은? ① \(\dfrac{2}{3\pi}\) ② \(\dfrac{4}{3\pi}\) ③ \(\dfrac{2}{3} \pi\) ④ \(\dfrac{3}{4} \pi\) ⑤ \(\dfrac{2}{3} \pi\)

직선 운동을 하는 물체의 시각 \(t\) 에서의 속도가 \(v(t)=t^2 - 4t +3\) 일 때, 시각 \(t=0\) 에서 \(t=2\) 까지의 이 물체가 움직인 거리를 구하시오.

지면에서 처음 속도 \(49 \rm m/초\) 로 똑바로 위로 던진 물체의 \(t\) 초 후의 속도 \(v(t)\) 는 \(v(t)=29-9.8t \;(\rm m/초)\) 라고 한다. 물체를 던진 후 \(2\) 초 후부터 \(6\) 초까지 이 물체가 움직인 거리를 구하시오. (단, 단위는 \(\rm m\) 이다.)

방정식 \(\sin \left \{ \dfrac{\pi}{4} \log _x \left ( \dfrac{d}{dx} \displaystyle \int x^2 dx\right ) \right \} = x^2 -4x -4 \) 의 모든 실근의 합을 구하시오.

자연수 \(n\) 에 대하여 \(f_n (x)= \displaystyle \int x(x+1)^n dx,\;\; f_n (-1) =0\) 일 때, \(\sum \limits _{n=1}^{6} f_n (1)\) 의 값을 구하시오.

오른쪽 그림과 같은 그릇에 물을 넣을 때, 깊이가 \(x\) 이면 수면의 넓이 \(S(x)\) 는 \(S(x)=\dfrac {4}{81} x^3 + \dfrac{2}{9} x +1\) 이고, 수면의 상승 속도는 시각 \(t\) 에 대하여 \(v(t)=6-2t\) 라 한다. 이 때, 이 그릇에 담을 수 있는 물의 부피의 최댓값을 구하시오. (단, 처음에는 그릇에 물이 담겨져 있지 않다.)

함수 \(f_n (x)= \left ( nx - \sum \limits _{k=1}^{n} a_k \right ) ^2 \) 가 \({\displaystyle \int} _{0}^{1} f_n ' (x) dx = -n^3\) 을 만족할 때, 중 옳은 것을 모두 고른 것은? (단, \(a_1 ,\; a_2 ,\; a_3 ,\; \cdots , \; a_n \) 은 상수) ㄱ. \(\sum \limits _{k=1}^{n} a_k = {\Large \frac {n(n+1)}{2}}\) ㄴ. \(f_2 (2) =3\) ㄷ. \({\displaystyle \int} _{0}^{n+1} f_n (x) dx = 2 {\displaystyle \int }_{0}^{\frac {n+1}{2}} f_n (x) dx\) ..