수학1_도형과 무한등비급수_난이도 상

그림과 같이 반지름의 길이가 $1$ 인 원 $O_1$ 에 외접하는 정사각형 $\rm A_1B_1C_1D_1$ 의 네 변 $\rm A_1B_1, \; B_1C_1, \; C_1D_1,\; D_1A_1$ 의 중점을 각각 $\rm E_1, \; F_1, \; G_1, \; H_1$ 이라 하자. 점 $\rm B_1$ 을 중심으로 하고 선분 $\rm B_1 F_1$ 을 반지름으로 하는 부채꼴 $\rm B_1 F_1 E_1$ 의 호 $\rm E_1 F_1$ 과 점 $\rm C_1$ 을 중심으로 하고 선분 $\rm C_1F_1$를 반지름으로 하는 부채꼴 $\rm C_1F_1G_1$ 의 호 $\rm G_1F_1$ 과 원 $O_1$ 의 호 $\rm E_1 H_1 G_1$ 으로 둘러싸인 도형을 $R_1$ 이라 하자. $R_1$ 에 내접하는 원을 $O_2$ 라 하고 도형 $R_1$ 의 넓이에서 원 $O_2$ 의 넓이를 뺀 값을 $S_1$ 이라 하자.

원 $O_2$ 에 외접하는 정사각형 $\rm A_2B_2C_2D_2$ 의 네 변 $\rm A_2B_2, \; B_2C_2, \; C_2D_2,\; D_2A_2$ 의 중점을 각각 $\rm E_2, \; F_2, \; G_2, \; H_2$ 이라 하자. 점 $\rm B_2$ 를 중심으로 하고 선분 $\rm B_2 F_2$ 을 반지름으로 하는 부채꼴 $\rm B_2 F_2 E_2$ 의 호 $\rm E_2 F_2$ 와 점 $\rm C_2$ 를 중심으로 하고 선분 $\rm C_2F_2$를 반지름으로 하는 부채꼴 $\rm C_2F_2G_2$ 의 호 $\rm G_2F_2$ 과 원 $O_2$ 의 호 $\rm E_2 H_2 G_2$ 으로 둘러싸인 도형을 $R_2$ 라 하자. $R_2$ 에 내접하는 원을 $O_3$ 라 하고 도형 $R_2$ 의 넓이에서 원 $O_3$ 의 넓이를 뺀 값을 $S_2$ 이라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 $n$ 번째 얻은 호 ${\rm E}_n {\rm F}_n$, 호 ${\rm G}_n{\rm F}_n$, 호 ${\rm E}_n{\rm H}_n{\rm G}_n$ 으로 둘러싸인 도형을 $R_n$ 이라 하고 $R_n$ 에 내접하는 원을 $O_{n+1}$ 이라 하자. 도형 $R_n$ 의 넓이에서 원 $O_{n+1}$ 의 넓이를 뺀 값을 $S_n$ 이라 할 때, $\sum \limits_{n=1}^{\infty} S_n$ 의 값은?

① $\dfrac{9-2\pi}{3}$          ② $\dfrac{18-4\pi}{5}$          ③ $\dfrac{9-2\pi}{2}$          

④ $\dfrac{18-4\pi}{3}$          ⑤ $9-2\pi$         

 

 

정답 ②