수악중독

자연수 \(n\) 에 대하여 점 \({\rm P}_n\) 을 다음 규칙에 따라 정한다. (가) 점 \({\rm P}_1\) 의 좌표는 \((1,\;1)\) 이다. (나) 점 \({\rm P}_n\) 의 좌표가 \((a,\;b)\) 일 때, \(b

다음은 \(19\) 세기 초 조선의 유학자 홍길주가 소개한 제곱근을 구하는 계산법의 일부를 재구성한 것이다. \(1\) 보다 큰 자연수 \(p\) 에서 \(1\) 을 뺀 수를 \(p_1\) 이라 한다. \(p_1\) 이 \(2\) 보다 크면 \(p_1\) 에서 \(2\) 을 뺀 수를 \(p_2\) 이라 한다. \(p_2\) 이 \(3\) 보다 크면 \(p_2\) 에서 \(3\) 을 뺀 수를 \(p_3\) 이라 한다. \(\vdots\) \(p_{k-1}\) 이 \(k\) 보다 크면 \(p_{k-1}\) 에서 \(k\) 을 뺀 수를 \(p_k\) 이라 한다. 이와 같은 과정을 계속하여 \(n\) 번째 얻은 수 \(p_n\) 이 \((n+1)\) 보다 작으면 이 과정을 멈춘다. 이때, \(2p_n\) 이 \..

다음 그림은 동심원 \(\rm O_1 ,\;O_2 , \; O_3 ,\; \cdots\) 과 직선 \(l_1 , \;l_2 , \; l_3 ,\; l_4\) 의 교점 위에 자연수를 \(1\) 부터 차례로 적은 것이다. 이미 채워진 수들의 규칙에 따라 계속하여 적어 나가면 \(475\) 는 원 \({\rm O}_m\) 과 직선 \(l_n\) 의 교점 위에 있다. \(m+n\) 의 값을 구하시오. 정답 64

한 변의 길이가 \(1\) 인 정\(n\)각형의 꼭짓점에 못을 박아 놓는다. 실을 한 꼭짓점에 고정시켜 길이가 \(n\) 이 되도록 잡고 한 변의 연장선 방향으로 팽팽하게 당긴 후 실의 끈의 이동거리가 최소가 되도록 정\(n\)각형의 둘레로 한 바퀴 돌릴 때, 실이 움직인 영역의 넓이를 \(S_n\) 이라 하자. 예를 들어, \(S_3\) 는 그림과 같이 정삼각형의 한 꼭짓점에 고정시킨 길이가 \(3\) 인 실을 잡고 정삼각형 둘레로 한 바퀴 돌릴 때 실이 움직인 영역의 넓이를 나타낸다. 이때, \(S_{20}\) 의 값은? (단, 실과 못의 굵기는 고려하지 않는다.) ① \({\displaystyle \frac{287}{2}}\pi\) ② \({\displaystyle \frac{289}{2}}\pi\..

그림과 같이 좌표축 위의 다섯 개의 점 \(\rm A,\;B,\;C,\;D,\;E\) 에 대하여 \(\overline{\rm AB} \bot \overline{\rm BC},\;\; \overline {\rm BC} \bot \overline {\rm CD},\;\; \overline {\rm CD} \bot \overline{\rm DE}\) 가 성립한다. 세 선분 \(\rm AO,\; OC, \;EA\) 의 길이가 이 순서대로 등차수열을 이룰 때, 직선 \(\rm AB\) 의 기울기는? (단, \(\rm O\) 는 원점이고 \(\overline {\rm OA} < \overline {\rm OB}\) 이다.) ① \(\sqrt{2}\) ② \(\sqrt{3}\) ③ \(2\) ④ \(\sqrt{5}\..

반지름의 길이가 \(2\sqrt{3}\) 인 원이 있다. 그림과 같이 이 원에 내접하는 두 정삼각형이 겹쳐지는 부분이 정육각형이 되도록 별 모양의 도형 \(S_1\) (어두운 부분)을 그린다 .또 \(S_1\) 의 정육각형에 내접하는 원을 그리고, 이 원에 내접하는 두 정삼각형이 겹쳐지는 부분이 정육각형이 되도록 별 모양의 도형 \(S_2\) (어두운 부분)를 그린다. 이와 같은 방법으로 별 모양의 도형 \(S_3 ,\; S_4 ,\; \cdots , \; S_{10}\) 을 그릴 때, 도형 \(S_{10}\) 의 넓이는? ① \(\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2^{15}}\) ② \(\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2^{16}}\) ③ \(\displayst..

그림과 같이 사분원 \(\rm OAB\) 에 대하여 \(\angle \rm AOB\) 를 삼등분하는 직선이 사분원과 만나는 교점을 각각 \(\rm A_1 , \;\; B_1\) 이라 하고, \(\angle \rm A_1 OB_1\) 을 삼등분하는 직선이 사분원과 만나는 교점을 각각 \(\rm A_2, \;\; B_2\) 라고 하자. 이와 같은 방법으로 계속할 때, \(\angle \rm A_{10} OB\) 의 크기는? ① \({\displaystyle \frac{\pi}{4}} \left ( 1- {\displaystyle \frac{1}{3^9}} \right ) \) ② \({\displaystyle \frac{\pi}{4}} \left ( 1+ {\displaystyle \frac{1}{3^9}}..

자연수 \(m\) 에 대하여 크기가 같은 정육면체 모양의 블록이 \(1\) 열에 \(1\) 개, \(2\) 열에 \(2\) 개, \(3\) 열에 \(3\) 개, \(\cdots\) , \(m\) 열에 \(m\) 개 쌓여 있다. 블록의 개수가 짝수인 열이 남아 있지 않을 때까지 다음 시행을 반복한다. 블록의 개수가 짝수인 각 열에 대하여 그 열에 있는 블록의 개수의 \(\dfrac{1}{2}\) 만큼의 블록을 그 열에서 들어낸다. 블록을 들어내는 시행을 모두 마쳤을 때, \(1\) 열부터 \(m\) 열까지 남아 있는 블록의 개수의 합을 \(f(m)\) 이라 하자. 예를 들어, \(f(2)=2,\;\;f(3)=5,\;\;f(4)=6\) 이다. \[\lim \limits _{n \to \infty} \frac..

함수 \(y=x^2\) 의 그래프 위에 다음 조건을 만족시키도록 점 \(\rm P_1 , \;P_2 ,\; P_3 , \; \cdots\) 을 차례로 정한다. (가) 점 \(\rm P_1\) 의 좌표는 \((1,\;1)\) 이다. (나) 직선 \({\rm P}_n {\rm P} _{n+1}\) 의 기울기는 \(n\) 이다. (\(n=1,\;2,\;3,\;\cdots \)) 점 \({\rm P}_{2009}\) 의 \(x\) 좌표는? ① \(1001\) ② \(1002\) ③ \(1003\) ④ \(1004\) ⑤ \(1005\) 정답 ⑤

좌표평면에서 자연수 \(n\) 에 대하여 \({\rm A}_n\) 을 \(4\) 개의 점 \[ \left ( n^2 , \; n^2 \right ) ,\;\; \left ( 4n^2 , \; n^2 \right ) ,\;\; \left ( 4n^2 , \; 4n^2 \right ), \;\; \left ( n^2 , \; 4n^2 \right ) \] 을 꼭짓점으로 하는 정사각형이라 하자. 정사각형 \({\rm A}_n\) 과 함수 \(y=k\sqrt{x}\) 의 그래프가 만나도록 하는 자연수 \(k\) 의 개수를 \(a_n\) 이라 할 때, 에서 옳은 것을 모두 고른 것은? ㄱ. \(a_5 = 15\) ㄴ. \(a_{n+2} - a_n =7\) ㄷ. \(\sum \limits _{k=1}^{10} a_..