수악중독

그림과 같이 자연수 \(n\) 에 대하여 가로의 길이가 \(n\), 세로의 길이가 \(48\) 인 직사각형 \(\rm OAB_{\it n} C_{\it n}\) 이 있다. 대각선 \(\rm AC_{\it n}\) 과 선분 \(\rm B_1 C_1\) 의 교점을 \(\rm D_{\it n}\) 이라 한다. 이때, \(\lim \limits _{n \to \infty} \dfrac{\overline {\rm AC_{\it n}}- \overline {\rm OC_{\it n}}}{\overline {\rm B_1 D_{\it n}}}\) 의 값을 구하시오. 정답 24

수렴하는 두 무한수열 \(\{a_n\},\;\;\{b_n\}\) 에 대하여 \[\left ( \matrix {a_{n+1} \\ b_{n+1}} \right ) = \left ( \matrix { 0.9 & 0.2 \\ 0.1 & 0.8 } \right ) \left ( \matrix { a_n \\ b_n } \right ) \;\;\;(n=1,\;2,\;3,\;\cdots)\] 으로 정의할 때, \(\lim \limits _{n \to \infty} \dfrac{b_n}{a_n}\) 의 값은? (단, \( a_1 =4,\;\;b_1 =6\)) ① \(\dfrac{1}{3}\) ② \(\dfrac{1}{2}\) ③ \(1\) ④ \(\dfrac{2}{3}\) ⑤ \(2\) 정답 ②

다음과 같이 정사각형을 가로 방향으로 \(3\) 등분하여 [도형1]을 만들고, 세로 방향으로 \(3\) 등분하여 [도형2]를 만든다. [도형1]과 [도형2]를 번갈아 가며 계속 붙여 아래와 같은 도형을 만든다. 그림과 같이 첫 번째 붙여진 [도형1]의 왼쪽 맨 위 꼭짓점을 \(\rm A\) 라 하고, [도형1]의 개수와 [도형2]의 개수를 합하여 \(n\) 개 붙여 만든 도형의 오른쪽 맨 아래 꼭짓점을 \({\rm B}_n\) 이라 하자. 꼭짓점 \(\rm A\) 에서 꼭짓점 \({\rm B}_n\) 까지 선을 따라 최단거리로 가는 경로의 수를 \(a_n\) 이라 할 때, \(a_3 +a_7\) 의 값은? ① \(26\) ② \(28\) ③ \(30\) ④ \(32\) ⑤ \(34\) 정답 ④

이차함수 \(f(x)=2x^2 -2nx + \dfrac{1}{2} n^2 + 6n +1 \;\;(n=1,\;2,\;3, \cdots\) 의 그래프의 꼭짓점의 좌표를 \({\rm P} (x_n ,\; y_n ) \) 이라 할 때, \(\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{y_n}{x_n}\) 의 값을 구하시오. 정답 12

\(n\) 이 자연수일 때, 점 \({\rm A}_n \left ( n,\; \sqrt{3}n \right )\) 과 원 \(x^2 +y^2 = 4n^2 -3n\) 위의 점 \(\rm P\) 에 대하여 선분 \(\rm PA_{\it n}\) 의 길이의 최솟값을 \(a_n\) 이라 하자. 이때, \(\lim \limits _{n \to \infty} a_n \) 의 값은? ① \(\dfrac{2}{3}\) ② \(\dfrac{3}{4}\) ③ \(\dfrac{4}{5}\) ④ \(\dfrac{5}{4}\) ⑤ \(\dfrac{4}{3}\) 정답 ②

\(3\) 으로도 \(5\) 로도 나누어 떨어지지 않는 자연수를 작은 것부터 순서대로 나열한 수열을 \(\{a_n\}\) 이라 한다. 예를 들면, \(a_1 =1,\;\;a_2 =2,\;\;a_3 = 4\) 이다. 이때, \(a_{100}\) 의 값은? ① \(172\) ② \(187\) ③ \(195\) ④ \(202\) ⑤\(210\) 정답 ②

한 변의 길이가 \(1\) 인 정사각형 모양의 검은 타일과 흰 타일이 있다. (가) [그림1]과 같이 검은 타일 \(3\) 개와 흰 타일 \(1\) 개를 붙여 한 변의 길이가 \(2\) 인 정사각형 이 되도록 한다. (나) [그림2]와 같이 [그림1]의 정사각형의 바깥쪽에 타일을 붙여 한 변의 길이가 \(4\) 인 정사각형이 되도록 한다. 이때, [그림1]에 있는 흰 타일의 둘레에는 검은 타일을, 검은 타일의 둘레에는 흰 타일을 붙인다. (다) [그림3]과 같이 [그림2]의 정사각형의 바깥쪽에 타일을 붙여 한 변의 길이가 \(6\) 인 정사각형이 되도록 한다. 이때, [그림2]에 있는 흰 타일의 둘레에는 검은 타일을, 검은 타일의 둘레에는 흰 타일을 붙인다. 이와 같은 과정을 계속하여 타일의 개수가 \(..

자연수 \(n\) 과 \(0 \le p < r \le n+1,\;\;\; 0 \le q

자연수 \(n\) 에 대하여 \(n^2\) 을 \(6\) 으로 나눈 나머지를 \(a_n\) 이라 할 때, \(a_n =4\) 를 만족시키는 \(100\) 이하의 자연수 \(n\) 의 개수를 구하시오. 정답 34

수열 \(\{a_n\}\) 은 \(a_1 =2\) 이고, \[a_{n+1} = a_n + (-1)^n \dfrac{2n+1}{n(n+1)} \;\; (n \ge 1)\] 을 만족시킨다. \(a_{20}=\dfrac{q}{p}\) 일 때, \(p+q\) 의 값을 구하시오. (단, \(p\) 와 \(q\) 는 서로소인 자연수이다.) 정답 39